Глава II. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
В главе I мы ввели определенный интеграл как разность значений первообразной для подынтегральной функции. При этом предполагалось, что подынтегральная функция имеет первообразную на промежутке интегрирования.
В случае, когда первообразная выражается через элементарные функции, мы можем быть уверенными в ее существовании. Но если такого выражения нет, то вопрос о существовании первообразной остается открытым, и мы не знаем, существует ли соответствующий определенный интеграл.
Геометрические соображения подсказывают, что хотя, например, для функции 
нельзя выразить первообразную через элементарные функции, интеграл 
существует и равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции 
и прямыми 
(рис. 6). Но при более строгом анализе выясняется, что само понятие площади нуждается в обосновании, а потому нельзя опираться на него, решая вопросы существования первообразной и определенного интеграла.
В этой главе мы докажем, что любая функция, непрерывная на отрезке 
имеет на этом отрезке первообразную, и, следовательно, для нее существует определенный интеграл по этому отрезку. Для этого нам понадобится иной подход к понятию
Рис. 6
определенного интеграла, не опирающийся на предположение о существовании первообразной.
В следующей главе мы увидим, что для многочисленных приложений наиболее целесообразен именно второй подход. Кроме того, мы увидим, что для широкого класса функций оба подхода приводят к одному и тому же результату.
