§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В предыдущих параграфах речь шла об общих приемах интегрирования. В этом и следующих параграфах мы будем говорить об интегрировании конкретных классов функций с помощью рассмотренных приемов.
1. Интегрирование простейших рациональных функций.
Рассмотрим интеграл вида
где 
— рациональная функция. Всякое рациональное выражение 
можно представить в виде 
многочлены. Если эта дробь неправильная, т. е. если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то ее можно представить в виде суммы многочлена (целая часть) и правильной дроби. Поэтому достаточно рассмотреть интегрирование правильных дробей.
Покажем, что интегрирование таких дробей сводится к интегрированию простейших дробей, т. е. выражений вида:
где 
— действительные числа, а квадратный трехчлен 
не имеет действительных корней. Выражения вида 1) и 2) называют дробями 
рода, а выражения вида 3) и 4) — дробями 2-го рода.
Интегралы от дробей 1-го рода вычисляются непосредственно
Рассмотрим вычисление интегралов от дробей 2-го рода:
Сначала заметим, что
Чтобы свести вычисление интеграла 3) к этим двум интегралам, преобразуем квадратный трехчлен 
выделив из него полный квадрат:
Так как по предположению этот трехчлен не имеет действительных корней, то 
и мы можем положить 
Подстановка 
преобразует интеграл 3) к линейной комбинации указанных двух интегралов:
(кликните для просмотра скана)
Решение. Имеем:
Введем новую переменную, положив 
Тогда 
Заменив переменную под знаком интеграла, получим:
Положим 
Имеем (см. формулу (6) § 2):
Но
Таким образом,
Окончательно получаем:
