3. Вывод формулы длины дуги регулярной кривой.

Лемма. Пусть жорданова кривая регулярна и — длина дуги этой кривой, ограниченной точками Тогда функция дифференцируема на отрезке причем для всех имеем:

Доказательство. Возьмем любое и дадим приращение такое, что Положим для определенности Соответствующее приращение функции равно длине дуги кривой, ограниченной точками . В силу неравенств (6) и (7) п. 2 имеем:

где — наименьшие значения функций на отрезке а А и В — наибольшие значения этих функций на том же отрезке. Но тогда

Перейдем к пределу при . В силу непрерывности функций в точке получаем, что

а потому

Лемма доказана.

Из этой леммы следует, что

Так как то формулу (9) можно переписать в виде

Рис. 50

Геометрический смысл этой формулы ясен из рисунка 50, где — участок дуги, -соответствующий отрезок касательной. Мы будем называть дифференциалом длины дуги кривой.

Теорема 2. Если жорданова кривая Г:

регулярна, то ее длина выражается формулой

Доказательство. Так как то — первообразная для а тогда равна разности значений первообразной, т. е.

Теорема доказана.

Полученную формулу можно переписать в следующих видах:

или

Пример 1. Найдем длину дуги астроиды

Решение. Данная кривая симметрична относительно обеих координатных осей (см. рис. 48), поэтому достаточно найти длину четверти дуги, расположенной в первом квадранте

Найдем производные:

Вычислим сумму:

Учитывая сказанное выше, найдем четверть длины астроиды:

Длина всей кривой Она мало отличается от т. е. от длины окружности, описанной вокруг астроиды.