2. Объем прямого цилиндрического тела.
Пусть 
— плоская фигура. Восставим в каждой точке этой фигуры перпендикуляр к содержащей ее плоскости и отложим на каждом перпендикуляре отрезок длины 
(все отрезки располагаются по одну сторону от плоскости). Множество точек этих отрезков образует тело 
которое называется прямым цилиндрическим телом с основанием 
и высотой 
Вторые концы построенных отрезков образуют фигуру 
конгруэнтную основанию 
и параллельную ему.
В случае, когда 
— прямоугольник, прямое цилиндрическое тело является прямоугольным параллелепипедом. Если же 
— ступенчатая фигура, то 
— ступенчатое тело, причем оно разлагается на прямоугольные параллелепипеды, имеющие одинаковые высоты. Объем этого ступенчатого тела равен произведению площади фигуры 
на высоту тела:
Докажем, что формула (1) остается справедливой и в более общем случае. Именно, справедливо следующее утверждение:
Теорема 1. Если плоская фигура А квадрируема, то прямое цилиндрическое тело 
с основанием А кубируемо, причем его объем равен произведению площади фигуры А на высоту тела:
Доказательство. Не теряя общности, мы можем считать, что плоскость фигуры А является координатной плоскостью 
Так как по условию фигура А квадрируема, то для любого 
найдутся ступенчатые фигуры 
такие, что 
причем 
Построим ступенчатые тела 
с высотой 
и основаниями 
Тогда имеем:
При этом
Таким образом, для любого 
найдутся ступенчатые тела и 
такие, что
Поэтому тело 
кубируемо. При этом, как мы видели,
С другой стороны, из неравенств 
вытекает, что
разделяют одни и те же множества, а именно 
где, напомним, 
— ступенчатые фигуры, содержащиеся в 
— ступенчатые фигуры, содержащие А. Но эти два множества, в силу квадрируемости 
, разделяются лишь одним числом. Поэтому
.
