3. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.

В этом пункте мы выведем основную формулу, позволяющую выразить объем тела через площади сечений этого тела, параллельных некоторой плоскости.

Определение. Тело Т назовем регулярным, если существует такая плоскость П, что:

а) тело Т лежит по одну сторону от этой плоскости;

б) все сечения тела Т плоскостями, параллельными плоскости П, квадрируемы;

в) площадь сечения параллельного плоскости П и отстоящего от нее на расстояние является непрерывной функцией от

г) если то проекция сечения на плоскость П содержит проекцию сечения на ту же плоскость.

Теорема 2. Если тело Т регулярно, то оно кубируемо, причем его объем выражается формулой

Здесь — площадь сечения тела Т плоскостью, параллельной плоскости П и отстоящей от нее на расстояние а — наименьшее из расстояний точек тела Т от плоскости — наибольшее из этих расстояний (см. рис. 42, где

Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение отрезка

и на расстояниях проведем плоскости, параллельные плоскости П. Данное тело Т этими плоскостями разобьется на частичные «ломтики»

Рассмотрим частичный «ломтик». Его высота равна Так как функция непрерывна на то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Наименьшее значение площади

Рис. 42

сечения для этого «ломтика» обозначим а наибольшее Построим два прямых цилиндрических тела с основаниями . В силу условия г) регулярности тела Т цилиндрическое тело с основанием лежит внутри частичного «ломтика», а цилиндрическое тело с основанием целиком его содержит. Объем внутреннего цилиндрического тела будет

Объем внешнего цилиндрического тела будет

Объединяя все внутренние и все внешние цилиндрические тела, получим два тела такие, что Объем тела равен:

а объем тела равен

Но являются нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла Поэтому для любого найдется такое разбиение отрезка что

т.е.

Отсюда следует, что тело Т кубируемо (см. с. 106). При этом объем тела удовлетворяет неравенствам

Но, с другой стороны,

Значит, числа разделяют одни и те же числовые множества

Рис. 43

Поскольку эти множества разделяются лишь одним числом, то

что и требовалось доказать.

Пример 1. Вычислим объем пирамиды, площадь основания которой равна а высота Н (рис. 43).

Решение. Так как то Следовательно,

Пример 2. Вычислим объем шарового слоя, отсеченного от шара плоскостями

Решение. Плоскость, перпендикулярная к оси абсцисс в точке пересекает шар по кругу радиуса Площадь сечения

и, следовательно,