3. Определения неопределенного и определенного интегралов.

Определение 2. Множество всех первообразных для функции на промежутке X называется неопределенным интегралом для и обозначается

Функцию называют подынтегральной функцией для а произведение — подынтегральным выражением.

Таким образом,

На практике принята более короткая запись:

Часто говорят: «взять неопределенный интеграл» или «вычислить неопределенный интеграл», понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Мы видели, что если функция имеет хоть одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных. На практике часто приходится искать разность значений первообразной в точках Эта разность не зависит от выбора произвольной постоянной С. В самом деле, если , то

Итак,

Поскольку разность значений первообразной в точках и а не зависит от того, какую именно первообразную функции мы выбираем, эту разность называют определенным интегралом от функции по отрезку

Определение 3. Пусть функция задана на отрезке и имеет на нем первообразную Разность называют определенным интегралом функции по отрезку и обозначают Итак,

(см. скан)

Остановимся на геометрическом смысле введенных понятий. Пусть является первообразной для

Угловой коэффициент касательной в каждой точке графика функции равен Поэтому задача о нахождении первообразной геометрически означает следующее: вная угловой коэффициент касательной в каждой точке, найти кривую. Так как при параллельном переносе вдоль оси ординат угловой коэффициент касательной в точке с заданной абсциссой не изменяется, то, найдя одну такую кривую, все остальные искомые кривые получают из нее параллельным переносом в направлении оси ординат. Это семейство кривых (рис. 1) и представляет собой геометрическую иллюстрацию неопределенного интеграла.

Определенный интеграл показывает изменение ординаты каждой из кривых при переходе от точки а к точке Так как все эти кривые получаются друг из друга параллельным переносом в направлении оси ординат, то указанное изменение ординаты для всех кривых одно и то же (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рассмотрим задачи, решение которых сводится к вычислению определенных интегралов.

Задача 1. Пусть точка М движется по прямой и пусть известна скорость движения этой точки в любой момент времени промежутка Найдем перемещение точки М за этот промежуток времени.

Решение. Мы знаем, что если — закон движения точки, то Поэтому — одна из первообразных для функции Но перемещение точки М за промежуток времени равно разности ее координат в моменты времени , т. е. равно . Иными словами, это перемещение равно разности значений первообразной для функции в моменты времени и а. Таким образом,

Так, например, скорость тела при свободном падении выражают формулой . В этом случае путь, пройденный падающим телом за секунд с начала падения, вычисляется так:

Задача 2. Найдем площадь криволинейной трапеции ограниченной осью абсцисс, прямыми и графиком непрерывной на функции , принимающей на этом отрезке только неотрицательные значения (рис. 3).

Прежде чем переходить к решению задачи, заметим, что здесь используем наглядное представление о площади плоской фигуры (более детально вопрос об определении площади будет рассмотрен в гл. III).

Решение. Обозначим через площадь криволинейной трапеции Докажем, что

Дадим абсциссе приращение (положим для определенности тогда площадь получит приращение Обозначим через наименьшее значение функции на отрезке а через М — наибольшее значение той же функции на том же отрезке. Ясно, что тогда а значит,

Если то в силу непрерывности функции будем иметь:

Значит существует и причем этот предел равен Таким образом,

Полученное равенство означает, что — одна из первообразных для функции Поскольку прямая «отсекает» от трапеции фигуру нулевой площади, то . С другой стороны, — площадь всей криволинейной трапеции Значит, искомая площадь равна , т. е. равна разности значений одной из первообразных для функции в точках и а. Это означает, что

Пример 2. Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной полуволной синусоиды (рис. 4).

Решение. Искомая площадь выражается формулой Одной из первообразных для функции является так как Значит,

В заключение данного пункта остановимся на двух свойствах неопределенного интеграла, легко получающихся из определения.

1°. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Доказательство. Так как

Рис. 4

Это утверждение часто используется для проверки результата интегрирования. Пусть, например, нужно показать, что

Дифференцируя правую часть равенства, получим подынтегральную функцию:

Значит,

2°. Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной.

Доказательство. Так как

то по определению неопределенного интеграла

что и требовалось доказать.

Учитывая, что свойство 2° можно записать и так: