2. Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода.

В дальнейшем мы будем обычно иметь дело с несобственными интегралами от неотрицательных функций. Если функция неотрицательна на луче то функция

возрастает на этом луче. Поэтому она имеет предел при в том и только в том случае, когда ограничена. Отсюда получаем следующее утверждение:

а) Для сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена, т. е. чтобы нашлось такое число М, что для всех

Непосредственно найти такое число М бывает довольно сложно, поэтому во многих случаях оказывается полезным следующее утверждение:

б) Если на луче выполняется неравенство и интеграл сходится, то сходится и интеграл

В самом деле, из следует, что для любого имеем:

Но функция возрастает, и потому ее предел при не меньше любого из ее значений:

Поэтому для всех имеем:

где . А тогда на основании предыдущего утверждения интеграл сходится.

Из доказанного вытекает, что если при и интеграл расходится, то расходится и интеграл в противном случае в соответствии с утверждением б) интеграл сходился бы.

Пример 5. Исследуем на сходимость интеграл

Решение. Мы имеем при Но интеграл сходится (см. пример 4). Поэтому сходится и наш интеграл.

Пример 6. Исследуем на сходимость интеграл

Решение. Так а интеграл расходится (см. пример 4 при ), то расходится и заданный интеграл.