§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Одним из наиболее мощных методов интегрирования является замена переменной. Поясним суть этого метода. Пусть Тогда

Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство

остается справедливым и в случае, когда — промежуточный аргумент, т. е. Это значит, что формула

верна и при Таким образом,

или

Итак, если является первообразной для на промежутке X, а — дифференцируемая на промежутке Т функция, значения которой принадлежат X, то — первообразная для , и, следовательно,

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла При этом мы подставляем вместо переменную а вместо дифференциал этой переменной, т. е. Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как «слева направо», так и «справа налево». Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла надо снова заменить на

Пример 1. Вычислим

Решение. Введем новую переменную положив Тогда , следовательно,

Замечание. Вычисление короче записывают так:

Аналогичными преобразованиями мы будем пользоваться и в дальнейшем.

(см. скан)

Пример 2. Вычислим

Решение. В состав данного подынтегрального выражения входит множитель являющийся дифференциалом функции Полагая получим:

Пример 3, Вычислим

Решение. Числитель данного подынтегрального выражения напоминает дифференциал для в самом деле, Кроме того, знаменатель подынтегрального выражения легко выражается через

Это наводит на мысль о целесообразности подстановки

Тогда откуда

Таким образом,

В рассмотренных примерах новая переменная была функцией от переменной интегрирования. В ряде случаев бывает целесообразно

переменную интегрирования в заданном интеграле заменить функцией от другой переменной. В частности, при интегрировании некоторых видов иррациональных функций оказываются удобными тригонометрические подстановки.

Пример 4. Вычислим

Решение. Положим и выразим все множители, входящие в состав подынтегрального выражения, через новую переменную

При этом так как . Переходя к новой переменной под знаком неопределенного интеграла, учитывая, что и потому получим:

Так как откуда — (переход к обратной тригонометрической функции возможен, поскольку по условию — ) Далее имеем:

(перед радикалом берется знак «плюс», поскольку ). Значит,