5. Необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой.

Данное в условие спрямляемости кривой является достаточным, но не необходимым (например, любая ломаная спрямляема, но не регулярна, так как имеет точки излома). Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой, нам понадобится понятие: функция с ограниченным изменением.

Рассмотрим функцию , определенную на отрезке и произвольное разбиение Р этого отрезка:

Для каждого частичного промежутка разбиения Р образуем разность — приращение функции на этом промежутке. Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Заменим все эти разности их модулями и сложим их. Получим сумму

Полученная сумма называется изменением функции соответствующим разбиению Р отрезка

Рассмотрим множество изменений функции соответствующих всевозможным разбиениям отрезка Если это множество ограничено сверху, то говорят, что функция имеет ограниченное изменение на отрезке а точную верхнюю границу этого множества называют изменением функции на отрезке и обозначают Таким образом,

Теперь мы можем сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие спрямляемости жордановой кривой.

Теорема 3. Для того

Рис. 53

Рис. 54

чтобы жорданова кривая Г:

была спрямляемой, необходимой достаточно, чтобы непрерывные функции имели ограниченное изменение на отрезке

Доказательство. Покажем сначала, что ограниченность изменения функций на отрезке является необходимым условием спрямляемости кривой Г. В самом деле, если кривая Г спрямляема, то множество длин вписанных в нее ломаных ограничено сверху некоторым числом М. Это означает, что для любой вписанной в Г ломаной имеем:

Но из рисунка 54 видно, что

Эти неравенства можно переписать следующим образом:

и

Они показывают, что для любого разбиения Р отрезка имеем т. е. функции имеют ограниченное изменение на отрезке

Теперь докажем, что если функции имеют ограниченное изменение на отрезке то кривая Г спрямляема на этом отрезке. В самом деле, в этом случае существует такое число М, что

и

Иными славами,

и

Но из рисунка 54 видно, что

Поэтому для любой ломаной , вписанной в кривую Г, имеем:

Значит, множество ограничено сверху числом и потому кривая Г спрямляема.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется спрямляемой кривой?

2. Что называется длиной дуги?

3. Всякая ли кривая имеет конечную длину?

4. Сформулируйте достаточное условие спрямляемости жордановой кривой.

5. Докажите, что окружность — спрямляемая кривая.

6. Можно ли утверждать, что график функции

спрямляем на отрезке

7. В чем состоит критерий спрямляемости жордановой кривой?

8. Как вычисляется длина дуги регулярной жордановой кривой?

9. Напишите формулу для вычисления длины дуги плоской кривой, заданной явным уравнением где имеет непрерывную на производную

10. Напишите аналогичную формулу для кривой, уравнение которой . Каким условиям должна удовлетворять функция

11. На чем основан вывод формулы дифференциала дуги?

12. Напишите формулу для вычисления длины дуги кривой в полярных координатах.

13. Что такое дифференциал дуги? Напишите соответствующие формулы и укажите их геометрический смысл.

14. Какую из функций , определяемую на называют функцией с ограниченным изменением на этом отрезке?

15. Приведите пример функции с ограниченным изменением на

16. Будет ли алгебраическая сумма конечного числа монотонных на функций являться функцией с ограниченным изменением на этом отрезке? Поясните свое утверждение.

17. Докажите, что функция, имеющая на промежутке ограниченную производную, обладает на отрезке ограниченным изменением.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)