2. Среднее значение функции.

Пусть функция интегрируема на отрезке Тогда она ограничена на этом отрезке, и потому существуют числа и М — точные нижняя и верхняя границы ее значений на отрезке (если функция непрерьщна на отрезке то наименьшее и наибольшее значения на нем). Выражения и являются нижней и верхней суммами Дарбу, соответствующими разбиению отрезка состоящему лишь из одной части — самого этого отрезка. Но разделяет суммы Дарбу, и потому

Геометрический смысл неравенств (2) виден из рисунка 11: площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника

Рис. 11

с тем же основанием и высотой ту но меньше площади прямоугольника с тем же основанием и высотой М.

В силу неравенств (2) число заключено между значениями Это число называют средним значением функции на отрезке Если функция непрерывна на отрезке то найдется такое значение что

Но тогда

Итак, мы доказали следующее утверждение.

Теорема 2 (о среднем значении). Если функция непрерывна на отрезке то существует такое что справедливо равенство

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника, имеющего то же основание, что и трапеция, причем высота прямоугольника равна ординате в некоторой точке с, лежащей между а и b (рис. 12).

Отметим, что если функция разрывна на отрезке то такой точки с может не быть (рис. 13).