§ 8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ТАБЛИЦ

Изучив предыдущие параграфы, разобрав приведенные в них примеры и решив достаточное количество упражнений, читатель получил некоторое представление об основных приемах интегрирования. На практике при вычислении интегралов прибегают к различным таблицам неопределенных интегралов. В Приложении 1 приведена таблица, содержащая 206 интегралов. Таблица состоит из 4-х разделов:

I. Интегралы от рациональных функций.

II. Интегралы от иррациональных функций.

III Интегралы от тригонометрических функций.

IV. Интегралы от показательной, логарифмической и обратных тригонометрических функций.

Каждый раздел, в свою очередь, разбит на несколько пунктов (всего 15). Чтобы с помощью таблицы вычислить неопределенный интеграл, нужно прежде всего определить, в каком разделе и в каком пункте надо искать соответствующий интеграл.

В дальнейшем при вычислении интегралов рекомендуем читателю, если это окажется необходимым, использовать таблицу. Если интеграла в таблице нет, следует подумать, нельзя ли с помощью несложных преобразований свести данный интеграл к табличному.

Рассмотрим ряд примеров из числа уже решенных в предыдущих параграфах и вычислим предлагаемые в них интегралы с помощью таблиц. Это не только позволит приобрести необходимые навыки в использовании табличного метода, но и даст возможность сопоставить усилия, затрачиваемые на вычисление того или иного интеграла с помощью таблиц и без них.

Пример 1 (см. пример 2 из § 2).

Вычислим

Решение. Под знаком интеграла содержится тригонометрическая функция, следовательно, соответствующий интеграл надо искать в разделе III 8). Воспользовавшись формулой № 94 при получим:

Интеграл находим в разделе III 9) под № 119

Окончательно получаем:

Пример 2 (см. пример 3 из § 2).

Вычислим

Решение. Интеграл от логарифмической функции следует искать в разделе IV 13). Воспользовавшись формулой № 188 при получим:

Пример 3 (см. пример 4 из § 2).

Вычислим

Решение. Интеграл от заданной трансцендентной функции следует искать в разделе IV 15). Под № 203 находим соответствующую формулу. Применив ее к случаю получаем:

Пример 4 (см. пример 4 из § 3).

Вычислим

Решение. Интеграл от заданной иррациональной функции следует искать в разделе II 5). Применив формулу № 49, получаем:

Пример 5 (см. пример 1 из § 4).

Вычислим

Решение. Этот интеграл следует искать в IV 12). Но среди формул, содержащихся в указанном пункте, нет подходящей к данному случаю. Преобразуем заданный интеграл следующим образом:

Воспользовавшись формулой № 181, получим:

Значит,

Осталось вычислить По формуле №181 имеем:

Снова воспользуемся формулой № 181. Получим:

Итак,

Пример 6 (см. пример 2 из § 5).

Вычислим

Решение. Заданный интеграл от рациональной функции следует искать в разделе I. Но в этом разделе нет формул для вычисления интегралов от выражений, содержащих квадратный трехчлен. Поэтому прежде всего нужно преобразовать подынтегральное выражение, выделив из трехчлена полный квадрат. Имеем:

Положив получим:

Для вычисления первого интеграла воспользуемся формулой № 29. Получим:

Для вычисления второго интеграла применим формулу № 27 при Получим:

Итак,

Возвращаясь к первоначальной переменной, находим:

Предлагаем читателю с помощью таблиц найти интегралы, вычисленные нами выше в примерах 5 из § 1, 1 и 5 из § 2, 2 из § 4, 3 из § 5 и 4 и 5 из § 7.