§ 4. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

В ряде случаев по виду подынтегральной функции можно предположить, что ее первообразная будет иметь ту же структуру, что и подынтегральная функция. Это бывает в тех случаях, когда, например, подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена и показательной функции, произведение многочлена и синуса или косинуса или произведение показательной функции и синуса или косинуса (см. примеры 1,2,4, 5 из §2). Тогда записывают искомую первообразную в предполагаемом виде с неопределенными буквенными коэффициентами. Задача в этом случае сводится к нахождению неопределенных буквенных коэффициентов, для чего, пользуясь свойствами неопределенного интеграла, сначала дифференцируют обе части равенства, а затем сравнивают левую часть полученного равенства с правой. Поясним сказанное на примерах.

Пример 1. Вычислим

Решение. Если вычислить этот интеграл с помощью трехкратного интегрирования по частям, то получим:

Этот ответ имеет ту же структуру, что и подынтегральная функция, т. е. является (с точностью до произвольной постоянной) произведением многочлена третьей степени на показательную

функцию Поэтому первообразную можно было сразу искать в следующем виде:

где Е — произвольная постоянная.

Чтобы найти неопределенные коэффициенты А, В, С, D, продифференцируем обе части равенства (1), учитывая при этом, что производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Разделив обе части этого равенства на получим:

откуда

Воспользуемся теперь тем, что два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую степень и равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравнив в тождестве (2) коэффициенты при одинаковых степенях переменной получим:

Мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя переменными А, В, С, D Решая ее, находим: Таким образом,

Пример 2. Вычислим

Решение. Здесь подынтегральная функция является произведением показательной функции и синуса. Мы видели (см. с. 19), что в этом случае ее первообразная равна произведению показательной функции и линейной комбинации синуса и косинуса того же аргумента:

Для нахождения неопределенных коэффициентов А и В продифференцируем обе части равенства (3):

Разделим обе части этого равенства на

Далее имеем:

Полученное равенство справедливо для любых значений Это имеет место тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при в левой и правой частях равенства. Приравняв друг другу указанные коэффициенты, получим:

Из этой системы двух уравнений с двумя переменными А и В находим: Значит,

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается сущность метода неопределенных коэффициентов? Для вычисления каких интегралов целесообразно применять этот метод?

2. Напишите линейную комбинацию с неопределенными коэффициентами.

3. Напишите общий вид многочлена пятой степени с неопределенными коэффициентами.

Упражнения

(см. скан)