5. Другие приложения интегрального исчисления к физике.

При решении физических задач изучаемый процесс разбивают на элементарные части, в пределах каждой из которых изменением соответствующих величин можно пренебречь. Теперь задача решается по формулам для постоянных величин, после чего окончательный ответ находится с помощью интегрирования.

а) Найдем работу силы при переходе материальной точки из если материальная точка движется по прямой линии под действием силы направленной вдоль этой прямой, причем величина силы зависит от координаты этой точки:

Известно, что в случае, если сила постоянна, работа равна , где — изменение координаты точки. Поэтому разобьем отрезок на элементарные части, в пределах каждой из которых считаем силу постоянной. Тогда работа силы на участке равна Общая работа выражается интегралом

Пример 10. Найдем работу, выполняемую при переносе материальной точки, имеющей массу если притягивающая ее по закону

Рис. 66

Ньютона точка имеет массу и находится в начале координат (рис. 66).

Решение. По закону Ньютона сила тяготения равна где — гравитационная постоянная, расстояние между точками. По формуле (2) получаем:

б) Найдем работу, выполненную двигателем за промежуток времени , если мощность двигателя в момент времени равна

За элементарный промежуток времени двигатель, имеющий мощность выполняет работу Поэтому вся работа двигателя равна

Пример 11. Найдем работу переменного тока, изменяющегося по формуле за промежуток времени если сопротивление цепи равно

Решение. Как известно из физики, в случае постоянного тока мощность выражается формулой Поэтому по формуле (3) имеем:

Заметим, что средняя мощность переменного тока равна

в) Вычислим количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени , если ток изменяется по формуле

За элементарный промежуток времени протекает количество электричества

Значит, общее количество электричества равно

В заключение рассмотрим еще один физический пример.

Рис. 67

Пример 12. Найдем давление воды на плотину, если вода доходит до ее верхнего края и если известно, что плотина имеет вид трапеции с высотой верхним основанием а и нижним основанием

Решение. Рассмотрим элементарный слой, находящийся на глубине и имеющий высоту (рис. 67). Легко доказать, что длина этого слоя равна

Поэтому его площадь равна

а давление на него равно

Все давление воды на плотину выражается интегралом

Вопросы для самопроверки

1. Что называется статическим моментом материальной точки отно сите прямой?

2. Как определяется статический момент конечного множества точек относительно прямой?

3. Как определяется и как вычисляется статический момент материальной кривой относительно оси относительно оси

4. Как определяется и как вычисляется статический момент плоской фигуры относительно оси относительно оси

5. Что такое центр тяжести? Как находятся координаты центра тяжести материальной кривой? плоской фигуры?

6. Сформулируйте теоремы Гульдина — Паппа. В каких случаях они используются?

7. Что такое момент инерции точки относительно прямой?

8. Как вычисляются моменты инерции материальной кривой и плоской фигуры относительно осей координат?

9. Приведите примеры физических задач, в решении которых используется определенный интеграл.

Упражнения

(см. скан)