4. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах.

Напомним, что мы назвали криволинейной Упрапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми и графиком функции . В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Теорема 3. Если функция неотрицательна на отрезке и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь выражается формулой

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции Как было показано в такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

(см. скан)

Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции сверху графиком функции

Рис. 30

Рис. 31

, а слева и справа прямыми (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями и высотами

Пусть теперь функция непрерывна на отрезке и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции

Рассмотрим фигуру Ф, симметричную фигуре относительно оси Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке функции , которая на принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

Но Значит,

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл дает значение площади криволинейной трапеции с точностью до знака. Если же функция меняет знак на отрезке в конечном числе точек, то значение интеграла дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций,

Рис. 32

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

ограниченных частями графика функции отрезками оси , быть может, отрезками, параллельными оси (рис. 32).

Пример 1. Найдем площадь фигуры, ограниченной кривой осью абсцисс и прямыми (рис. 33). Решение. Имеем:

Пример 2. Вычислим площадь фигуры, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой (рис. 34).

Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна 2

Пример 3. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций (рис. 35).

Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника и прямоугольного треугольника

Рис. 36

Пример 4. Вычислим площадь фигуры, ограниченной петлей кривой

Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.

Записав уравнение кривой в виде найдем точки пересечения ее с осью положив Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:

Воспользовавшись формулой № 40 таблицы (см. Приложение 1) при получим:

Тогда

Значит,