Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
5. Интегрируемость монотонных функций.
Теорема 4. Всякая монотонная функция заданная на отрезке интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. Возьмем произвольное Предположим для определенности, что функция возрастает на отрезке Тогда для любого разбиения этого отрезка наибольшее значение функции на отрезке равно а наименьшее значение равна (рис. 8).
Поэтому
Так как все то имеем:
где Число X будем называть мелкостью разбиения Р.
Сумма является не чем иным, как суммой приращений функции т. е. полным приращением этой функции на отрезке Поэтому
Отсюда следует, что при
выполняется неравенство
а потому функция интегрируема на отрезке
Пример 1. Функция возрастает на отрезке [1; 4]. Найдем, при какой мелкости X разбиения этого отрезка будет выполняться неравенство
Решение. В данном случае и потому
Значит, при любом разбиении отрезка [1; 4] на части, длина которых не превосходит выполняется неравенство