ПРЕДИСЛОВИЕ

Проблема приближенного обращения преобразования Лапласа и, в особенности, численного его обращения возникла из потребности довести решение до числа в том случае, когда существующие таблицы функций и их изображений не дают возможности. по изображению найти оригинал или требуют очень больших вычислений.

Было построено, особенно за два последних десятилетия, много способов обращения. Они опубликованы разрозненно в специальных журналах и книгах и известны, как правило, неширокому кругу лиц. Насколько осведомлены авторы, в научной литературе нет книг, содержащих систематическое изложение всех этих методов.

Авторы хотели написать книгу, где было бы дано достаточно полное описание современного состояния проблемы обращения, и хотели сделать книгу полезной тем, кто применяет преобразование Лапласа к решению тех или иных задач. Первое из этих намерений можно было осуществить просто, так как литература по проблеме обращения еще невелика и сравнительно легко обозрима. Что же касается вопроса о полезности книги, то самый беспристрастный ответ здесь даст время, но авторы считают, что в этом отношении в адрес книги может быть сделано несколько замечаний. Наиболее важным из них, несомненно, будет справедливое замечание о недостаточной исследованности проблемы и о еще малом числе полученных результатов. Чтобы быть лучше понятыми читателями, не знакомыми с проблемой обращения преобразования

Лапласа, авторы должны здесь сделать некоторые пояснения. Для этого авторы прибегли к нестрогим, но наглядным соображениям.

Проблема обращения есть не что иное, как задача отыскания решения интегрального уравнения первого рода

где считается известной функцией комплексного аргумента аналитической в некоторой полуплоскости вида

Равенство есть преобразование Лапласа функции в Ядро интеграла является целой аналитической функцией аргументов с плавным изменением, и операция интегрирования, которая выполняет усреднение с весом может значительно сгладить особенности в поведении преобразуемой функции

В задаче обращения нужно по изображению изменяющемуся, ввиду его аналитичности, очень плавно, восстановить все возможные неровности поведения оригинала Поэтому можно ожидать, что аппарат, при помощи которого решается задача обращения, не может быть простым и грубым, а должен быть достаточно сложным и чувствительным даже к малым оттенкам в поведении чтобы выполнить «тонкую работу» восстановления оригинала

Обратим внимание еще на одно свойство проблемы обращения — на неустойчивость оригинала относительно малых изменений изображения Такая неустойчивость становится видной при первом же взгляде на преобразование . В самом деле, пусть заданный оригинал и соответствующее ему изображение. Подвергнем любому изменению, быть может даже сильному, но на очень малом отрезке. Новый оригинал назовем Такое изменение незначительно повлияет на интеграл и мало изменит изображение так что новое изображение будет близким к

Мы могли бы построить новый оригинал изменяя не на одном участке полуоси а на многих ее участках, но так, чтобы общая сумма длин этих участков

была бы достаточно малой величиной, все равно при этом новое изображение можно было бы сделать сколь угодно близким к так что близким изображениям и могут отвечать оригиналы и сильно отличающиеся между собой на многих участках полуоси

Теперь можно более полно объяснить, в каком отношении содержание книги следует считать недостаточным, и попытаться указать причины, по которым авторы находят, что эти недостатки вряд ли могут быть устранены в ближайшие годы.

В настоящее время мы находимся в самой начальной стадии построения теории приближенного обращения преобразования Лапласа. В большинстве публикуемых работ либо указываются видоизменения уже известных методов вычислений, либо создаются новые вычислительные схемы, не имеющие аналогов в прошлом. Примерами методов первого вида могут служить методы вычисления комплексного интеграла Меллина, основанные на идее интерполирования или на идее Гаусса достижения наивысшей степени точности, и др. Использование же ортогональных многочленов для обращения преобразования возникло только в связи с преобразованием Лапласа и не имело близких аналогов в прошлом.

Построение вычислительного метода или указание на возможность построения есть лишь первый шаг в создании теории метода. За ним должно следовать выяснение условий сходимости правила, определение скорости сходимости, нахождение оценки погрешности априорной и апостериорной, выработка способов улучшения сходимости, если последняя окажется недостаточно быстрой, и т. д. Исследования проблемы обращения в этом направлении особенно важны ввиду ее неустойчивости.

Как читатель увидит из содержания книги, результаты такого рода получены в очень небольшом числе и лишь в самых простых случаях.

Главными причинами, препятствующими быстрому решению стоящих здесь задач, являются указанные выше два свойства проблемы обращения: неизбежная сложность математического аппарата обращения преобразования Лапласа и неустойчивость проблемы обращения относительно изменений функций которая должна вызвать ту или

иную форму неустойчивости в любом вычислительном процессе решения этой проблемы.

Недостаточная изученность правил приближенного обращения преобразования делает справочную книгу неполной во многих отношениях. По-видимому, трудно ожидать быстрого улучшения наших знаний в этих вопросах, и в ближайшие годы книгу, вероятно, невозможно будет освободить от такой неполноты.

До сих пор говорилось только об обращении преобразования Лапласа, о гармоническом же анализе не упоминалось вообще. Это связано с тем, что в книге гармонический анализ рассматривается только в той мере, в какой он связан с проблемой обращения, а именно, из гармонического анализа взяты только задачи вычисления интегралов Фурье, тесно связанные с обращением преобразования Лапласа, и вычисление интегралов Фурье есть для нас один из возможных методов решения проблемы обращения. Поэтому все сказанное об обращении относится и к вычислению интегралов Фурье.

Книга предназначена широкому кругу читателей, занимающихся теорией преобразования Лапласа или его научными и техническими приложениями. Поэтому авторы не стремились к лаконичности изложения и старались сделать его доступным не только для специалистов-математиков. Книга предполагает знакомство читателя с основами анализа и теории функций комплексного переменного в объеме втузовского курса математики с расширенной программой.

Авторы