ГЛАВА 6. МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ 6.1. Построение вычислительной формулы

Будем предполагать, что задача обращения преобразования Лапласа снова сведена к вычислению интеграла

Для вычисления его построим квадратурную формулу с равными коэффициентами

Неизвестными величинами, выбором которых можно распорядиться, в формуле (6.1.2) являются числа и

Выберем их так, чтобы формула (6.1.2) была точной для любого многочлена степени от переменной Это требование равносильно тому, чтобы формула (6.1.2) была точной для функций Множитель определим из условия, чтобы равенство (6.1.2) было точным для функции

следовательно,

Правило (6.1.2) при найденном таким образом значении принимает вид

Если перейти от переменной к переменной и обозначить то для неизвестных получится следующая система уравнений:

Из полученной системы можно было бы находить значения , и, следовательно, Но так как эта система нелинейна, решение ее может вызвать некоторые вычислительные затруднения. Поэтому можно попытаться найти другой способ вычисления аналогично тому, как это делается для квадратур Чебышева в области действительной переменной (см. [6], стр. 192). Введем многочлен степени корнями которого будут числа

Разложим этот многочлен по степеням

Как известно, коэффициенты будут элементарными симметрическими функциями корней. Равенства же (6.1.5) дают суммы степеней корней

Запишем теперь хорошо известные в теории многочленов соотношения между элементарными симметрическими

функциями корней и функциями

Они определяются так называемыми соотношениями Ньютона

Подставив в систему (6.1.7) значения из (6.1.6), получим следующую систему уравнений?

Из этой системы последовательно могут быть найдены все Значение можно выписать в явном виде в форме определителя порядка Так как определитель системы (6.1.8) является треугольным и равен то где

(см. скан)

для причем

Найдя все можно построить многочлен Определяя же его корни найдем все узлы квадратурной формулы (6.1.4).