ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

В первой и второй частях книги были рассмотрены две связанные между собой задачи: обращение преобразования Лапласа и вычисление интегралов Фурье. Каждая из задач решается в своих условиях и своими методами, поэтому способы выделения особенностей функции при вычислениях для этих задач не совпадают и будут рассматриваться нами отдельно.

ГЛАВА 11. ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ИЗОБРАЖЕНИЯ F(p)

§ 11.1. Введение

Для определенности будем говорить о методах обращения, основанных на вычислении интеграла Меллина, но некоторые соображения, высказанные для этой задачи, могут быть перенесены и на другие методы обращения.

Вычисление оригинала было основано на интерполировании изображения или функции связанной с изображением равенством Интерполирование выполнялось при помощи многочлена от или более общей рациональной функции.

Напомним, что является аналитической функцией регулярной в полуплоскости и стремящейся к нулю при удалении точки в бесконечность в этой полуплоскости. При вычислении интеграла Меллина

прямая интегрирования выбиралась так, чтобы выполнялось неравенство Узлы интерполирования

брались на линии интегрирования либо на действительной оси, либо в полуплоскости при этом интерполирующая рациональная функция избиралась так, чтобы ее полюсы лежали слева от прямой кроме того, чтобы функция стремилась к нулю при

Можно предвидеть, что такое интерполирование будет, вообще говоря, тем более точным, чем более гладким будет изменение и в полуплоскости Гладкость же зависит, во-первых, от положения особых точек чем дальше они удалены от полуплоскости тем более гладким будет там изменение Гладкость поведения зависит, во-вторых, от характера особых точек, или, если употребить не вполне точный термин, но достаточно наглядно описывающий содержание вопроса, от влияния их на поведение

Наконец, на точность интерполирования будет оказывать влияние поведение вблизи бесконечно удаленной точки плоскости в частности скорость убывания при

Можно пытаться улучшить поведение функции а вместе с ней и в полуплоскости если устранить особые точки, ближайшие к прямой или по меньшей мере ослабить их влияние на изменение Делают это обычно при помощи разложения функции на два слагаемых: которые выбирают так, чтобы функция имела такие же особенности, которые мы хотим устранить или главные части этих особенностей, когда мы хотим ослабить их Кроме того, функция должна быть такой, чтобы она была изображением и оригинал для нее мог быть найден точно. Второе же слагаемое определяется равенством Можно

ожидать, что будет изменяться в полуплоскости более плавно, чем и оригинал для нее может быть найден приближенно с большей ностью, чем для