3.1.7. Замечание о приведении полуплоскости регулярности изображения к виду ...

Во всех предыдущих пунктах мы рассматривали задачу восстановления функции если известно преобразование Лапласа функции с весовым множителем т. е. функции причем абсцисса абсолютной сходимости равнялась нулю. Но чаще всего на практике известно преобразование Лапласа функции с некоторой абсциссой абсолютной сходимости не обязательно равной нулю, а именно известно, что преобразование рассматривается в условиях

В этом случае поступаем следующим образом. Используя теоремы подобия и смещения для преобразования Лапласа, соотношение (3.1.36) перепишем в виде

для любого Абсцисса абсолютной сходимости интеграла (3.1.37) будет равна нулю.

Теперь для того, чтобы получить разложение функции в классе многочленов, ортогональных с весом соотношению (3.1.37) придадим вид

где

или

Для функции получим разложение по многочленам, ортогональным с весом по схемам, описанным в предыдущих пунктах.

Тогда разложение для функции получится умножением разложения для на как видно из формулы (3.1.39).

Положим и рассмотрим разложения функции по смещенным многочленам Лежандра, смещенным многочленам Чебышева первого и второго рода.

Для многочленов Лежандра разложение для функции имеет вид весовая функция поэтому

Для многочленов Чебышева первого рода весовая функция имеет вид

а функция вычисляется по формуле

Если перейти к тригонометрической записи многочленов и сделать замену переменной то формула (3.1.41) примет вид

Так как разложение функции имеет вид (3.1.25), то разложение функции будет следующим:

Для многочленов Чебышева второго рода весовая функция имеет вид

а функция вычисляется следующим образом:

Если перейти к тригонометрической записи многочленов и сделать замену переменной такую же, как и в предыдущем случае, то получим

Так как для имеет место разложение (3.1.28), то

Коэффициенты разложений вычисляются из соответствующих треугольных систем уравнений, при

этом в качестве моментов (см. (3.1.4)) берутся числа

В разложении (3.1.42) множитель может оказывать сильное влияние на погрешности вычислений при значениях в, близких к нулю. Поэтому этим разложением можно пользоваться, когда требуется вычислить значение не на всей оси, а только в точке и ее окрестности. В этом случае можно выбрать параметр так, чтобы замена перевела точку т. е. Тогда влияние множителя будет сведено к минимуму. Значение будет равно При этом, если абсцисса абсолютной сходимости интеграла то на величину не накладывается никаких ограничений; если же то указанным методом можно пользоваться если так как

Для всех описанных в этом параграфе методов характерен один существенный недостаток, заключающийся в следующем. Коэффициенты многочленов Лежандра, Чебышева первого и второго рода и других многочленов Якоби так же, как и коэффициенты треугольных систем линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов растут очень быстро с ростом Поэтому для того, чтобы коэффициенты разложения в ряд были вычислены хотя бы с умеренной точностью, значения исходных данных должны быть заданы с большой точностью.

Замечание. Ряд (3.1.43) представляет собой синус-ряд Фурье для функции Может случиться, что коэффициенты этого ряда будут убывать недостаточно быстро и ряд будет сходиться медленно. В этом случае можно улучшить сходимость ряда, если функции и удовлетворяют некоторым условиям. Из теории рядов Фурье известно, что если функция достаточное число раз дифференцируема и обращается в нуль на концах отрезка то коэффициенты разложения этой функции. в синус-ряд Фурье имеют порядок Поэтому можно попытаться представить изображение в виде суммы так, чтобы оригинал для одного слагаемого вычислялся точно, а для

другого удовлетворял перечисленным выше условиям. Если будут справедливы равенства

и пределы конечны, то можно представить в виде

Оригинал для слагаемого в скобках вычисляется точно, а оригинал для функции равен как функция 0, обращается в нуль на концах отрезка Синус-ряд Фурье для функции будет сходиться быстрее, чем ряд для функции