ГЛАВА 12. ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФУНКЦИИ ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ

Вычисление интегралов Фурье по значениям преобразуемой функции основано, как и вычисление интеграла Меллина, преимущественно на интерполировании функции при помощи многочленов или рациональных функций, при этом интерполирование выполняется либо во всей области интегрирования, либо в ее частях. Точность вычисления интегралов зависит как от избранного правила, так и от свойств функции но обычно, чем более гладкой является функция и чем быстрее она стремится к нулю при удалении аргумента ее в бесконечность, тем более точный результат может быть получен при вычислениях.

Предварительную подготовку функции к вычислению интегралов Фурье можно проводить в следующих трех направлениях:

1) Улучшение дифференциальных свойств функции в частности повышение порядка ее дифференцируемости.

2) Увеличение плавности изменения функции Чтобы пояснить содержание этой краткой фразы, достаточно, по-видимому, привести примеры. Хорошо известна возможность сколь угодно точного и равномерного приближения на замкнутом отрезке непрерывной функции многочленом. В некоторых случаях для достижения заданной точности приближения необходимо строить многочлен высокой степени с большими и сильно изменяющимися значениями производных от него. С таким затруднением можно встретиться даже в случае аналитической функции когда ее особые точки лежат вблизи отрезка, на котором строится аппроксимирующий многочлен.

В случаях такого рода естественно пытаться облегчить задачу приближения путем предварительного выделения

из f «особой, негладкой части» с тем, чтобы вычисления нужно было производить с более плавно изменяющимся «остатком». С задачей такого увеличения плавности изменения мы встречались выше в § 11.2.

3). Ускорение стремления к нулю функции когда неограниченно возрастает.

Мы остановимся только на двух вопросах: устранении разрывов первого рода и ускорении стремления к нулю преобразуемой функции.