§ 12.2. Увеличение скорости стремления к нулю преобразуемой функции

Пусть стремится к нулю по степенному закону так, что для некоторого будет Во многих случаях параметр а, зависящий от поведения вблизи начала координат, можно принять равным единице. Функция представима в форме

где стремится к нулю быстрее, нежели так как

Преобразование Фурье главной части функции может быть найдено точно способом, указанным в гл. 10.

Если окажется, что скорость стремления к нулю функции является недостаточной для выполнения преобразования Фурье, то можно пытаться из в свою очередь выделить главную часть. Вид ее зависит от свойств функции но может оказаться, что как и стремится к нулю по степенному закону и из можно выделить главную часть того же вида, но с другими значениями параметров Выполнив операцию выделения главной части несколько раз, нередко удается построить представление функции вида

где

Допустим теперь, что стремится к нулю при по показательному закону и существует положительное число а такое, что Тогда для верно равенство

при этом стремится к нулю быстрее, нежели так что первый член правой части является главным.

Преобразование Фурье главного члена выполняется точно:

В третьей части книги мы ознакомили читателя только с самыми простыми задачами подготовки функции к обращению преобразования Лапласа и функции

к преобразованию Фурье. Нам казалось, что этого достаточно для ознакомления с идеями подготовки. Подготовка состоит, по сути дела, в том, что из функций выделяют особенные или главные части такие, чтобы для них вычисления могли быть выполнены достаточно просто и сколь угодно точно.

Эта задача выделения является нестандартной, и, если читатель встретится со случаем более сложным, чем приведенные в нашей книге, мы рекомендуем ему обратиться к книгам, которые могут оказать помощь в вопросах подготовки вычислений для большого числа случаев (см. [1], [3]).