§ 12.1. Устранение разрывов первого рода

Пусть функция задана на отрезке и х есть внутренняя точка этого отрезка. Предположим, что имеет в точке х правостороннее предельное значение

и левостороннее предельное значение

Если значения существуют, но хотя бы одно из них отлично от то говорят, что имеет в точке х разрыв непрерывности первого рода.

Если точка х является одним из концов отрезка то при определении разрыва рассматривается лишь одно из предельных значений: или

Почти аналогично определяются разрывы первого рода у производных функции Например, рассмотрим первую производную и будем считать, что она существует во всех точках некоторой окрестности значения х, исключая, может быть, саму точку х. Предположим также, что существуют предельные значения и Если окажется, что , то говорят, что первая производная имеет в точке х разрыв первого рода со скачком

Для определенности записи будем иметь в виду косинус-преобразование. Предположим, что и ее производные до некоторого порядка непрерывны на полуоси всюду, за исключением точек где они имеют разрывы первого рода.

Величину скачка в точке х. обозначим

Когда необходимо устранить разрывы только у функции достаточно ввести кусочно-постоянную функцию абсолютно интегрируемую на и имеющую такие же скачки, как и За такую функцию можно, очевидно, взять

где есть «гасящая функция» (см. стр. 143).

На отрезках полуоси между точками разрыва имеет указанные ниже значения:

Косинус-преобразование функции находится просто:

Разность непрерывна всюду, кроме чек а в этих точках для нее Если ее доопределить в точках положив там , она будет непрерывна везде на полуоси

Так как вне точек функция кусочно-постоянна, то всюду, кроме точек производные всех порядков от совпадают, если производные от существуют.

Если мы хотим устранить только разрывы первой производной оставив неизменными разрывы самой функции и ее производных выше первого порядка, можно

воспользоваться функцией

Она кусочно-линейная, непрерывная на и обращается в тождественный нуль при Первая производная

кусочно-постоянна вне точек и имеет в этих точках равные соответственно величинам

Разность будет иметь производную везде при Кроме того, в точках будет и если доопределить в точках положив там функция будет непрерывной на полуоси

Косинус-преобразование функции находится с помощью несложных вычислений. Так как

то

Отметим также, что разность

будет обладать свойствами: и если доопределить в точках равенствами то будет непрерывно дифференцируемой при

Эти рассуждения можно продолжить. При всяком положим

Такая функция непрерывно дифференцируема по х до порядка включительно, производная же порядка при имеет значение

и является кусочно-постоянной функцией со скачками в точках величины которых равны соответственно Для верно равенство

С помощью у функции могут быть удалены скачки производной порядка

Если же мы положим

и затем в точках доопределим полагая , получим функцию, раз непрерывно дифференцируемую на Этим будут устранены разрывы и ее производных до порядка