5.2.2. Рекуррентное соотношение для многочленов ...

Для многочленов можно получить рекуррентную формулу, связывающую три многочлена подобно тому, как это делается для обычных ортогональных многочленов. Возьмем произведение оно является многочленом степени от и может быть представлено как линейная комбинация многочленов

Коэффициенты этого разложения можно определить по формуле

из которой видно, если то многочлен степени ниже и по условию (5.1.7) интеграл в числителе (5.2.4) равен нулю. Таким образом, в соотношении (5.2.3) могут быть отличными от нуля только

Переменную обозначим х и соотношение (5.2.5) перепишем в виде

Так как нам известно явное выражение коэффициенты определяются просто. Приравнивая

коэффициенты при в правой и левой частях соотношения (5.2.6), получим Отсюда

Для определения приравниваем коэффициенты при в обеих частях равенства (5.2.6):

Отсюда следует

Наконец, определим сравнивая, например, свободные члены в правой и левой частях равенства (5.2.6):

Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 2. Любые три последовательных многочлена связаны рекуррентным соотношением)