5.2.5. Производящая функция для многочленов ...

Многочлены можно рассматривать как коэффициенты разложения в ряд Тейлора некоторой аналитической функции, которая называется производящей функцией этих многочленов.

Для нахождения ее рассмотрим функцию Она аналитична во всей плоскости кроме точек поэтому в любой точке плоскости кроме указанных двух точек, ее можно представить интегралом Коши:

где замкнутый контур, охватывающий точку и лежащий в области аналитичности функции

Производная -го порядка от этой функции будет представляться формулой

Выполним преобразование

Оно переведет точку в точку В плоскости сделаем разрез вдоль положительной действительной оси от точки до бесконечности и будем рассматривать ту ветвь для которой для действительных 1. Контур интегрирования перейдет в контур X, охватывающий точку Интеграл (5.2.11) после преобразования (5.2.12) примет вид

Подставляя теперь выражение (5.2.13) вместо производной в явное выражение (5.2.1) для многочленов получим

или

Рассмотрим функцию

она аналитична в точке значит, в окрестности этой точки она может быть представлена своим рядом Тейлора

где

Следовательно,

Введя новую переменную и положив последнюю формулу можно записать в виде

где переменная снова обозначена

Функция, стоящая слева в выражении (5.2.15), является производящей функцией для многочленов