§ 1.4. Некорректность задачи обращения преобразования Лапласа
Задачу восстановления оригинала
по операторному изображению
можно рассматривать как задачу решения интегрального уравнения первого порядка
которая относится к классу задач, получивших, название некорректных. Эти задачи характеризуются двумя свойствами, сильно затрудняющими их решение: они разрешимы не при всех значениях числовых или функциональных параметров, определяющих их решение, и малым изменениям этих параметров может отвечать большое изменение решения (о неустойчивости задачи говорилось в предисловии, и здесь мы вынуждены отчасти повторить уже сказанное там). Поясним более подробно эти свойства для задачи обращения преобразования Лапласа и для соответствующего ей интегрального уравнения.
Для определенности рассмотрим случай, когда изображение
известно на действительной полуоси
и аргумент
есть действительная переменная. Уравнение (1.4.1) имеет решение не при всяких функциях
непрерывных или даже гладких для
В частности, оно неразрешимо, если
не является аналитической функцией при
Предположим теперь, что
является изображением некоторой функции
и уравнение (1.4.1) будет, следовательно, разрешимым. Заменим функцию
некоторой другой функцией отличающейся от
возмущением, имеющим большую величину на достаточно малом участке, и совпадающей с
на остальной части полуоси
Новому оригиналу будет отвечать изображение
мало отличающееся от
при всяких
Таким образом, малому изменению правой части уравнения (1.4.1) может соответствовать сколь угодно большое изменение решения
в равномерной метрике. Можно показать, что аналогичное будет иметь место и в других метриках.
Некорректность проблемы решения уравнения (1.4.1), которая равносильна обращению преобразования Лапласа, может затруднить численное решение, но не делает его невозможным. К решению уравнения (1.4.1) могут быть применены методы регуляризации решения, разработанные А.
Тихоновым, В. К. Ивановым и другими авторами. Мы не будем останавливаться на изложении этих методов.