§ 1.4. Некорректность задачи обращения преобразования Лапласа

Задачу восстановления оригинала по операторному изображению можно рассматривать как задачу решения интегрального уравнения первого порядка

которая относится к классу задач, получивших, название некорректных. Эти задачи характеризуются двумя свойствами, сильно затрудняющими их решение: они разрешимы не при всех значениях числовых или функциональных параметров, определяющих их решение, и малым изменениям этих параметров может отвечать большое изменение решения (о неустойчивости задачи говорилось в предисловии, и здесь мы вынуждены отчасти повторить уже сказанное там). Поясним более подробно эти свойства для задачи обращения преобразования Лапласа и для соответствующего ей интегрального уравнения.

Для определенности рассмотрим случай, когда изображение известно на действительной полуоси и аргумент есть действительная переменная. Уравнение (1.4.1) имеет решение не при всяких функциях непрерывных или даже гладких для В частности, оно неразрешимо, если не является аналитической функцией при Предположим теперь, что является изображением некоторой функции и уравнение (1.4.1) будет, следовательно, разрешимым. Заменим функцию некоторой другой функцией отличающейся от возмущением, имеющим большую величину на достаточно малом участке, и совпадающей с на остальной части полуоси Новому оригиналу будет отвечать изображение мало отличающееся от при всяких Таким образом, малому изменению правой части уравнения (1.4.1) может соответствовать сколь угодно большое изменение решения в равномерной метрике. Можно показать, что аналогичное будет иметь место и в других метриках.

Некорректность проблемы решения уравнения (1.4.1), которая равносильна обращению преобразования Лапласа, может затруднить численное решение, но не делает его невозможным. К решению уравнения (1.4.1) могут быть применены методы регуляризации решения, разработанные А. Тихоновым, В. К. Ивановым и другими авторами. Мы не будем останавливаться на изложении этих методов.