§ 9.3. Вычислительные формулы, основанные на интерполировании рациональными функциями

9.3.1. Введение. Выбор интерполирования, его погрешность.

В начале главы мы обращали внимание на то, что интерполирование алгебраическими многочленами хотя и приводит к практически полезным вычислительным правилам, но не всегда является удобным средством для вычислений. Оно требует разбиения полуоси или оси интегрирования на бесконечное число конечных отрезков, количество которых зависит, в частности, от скорости убывания функции при Если убывание недостаточно быстрое, то таких отрезков может потребоваться много, и это затруднит вычисления или сделает их в некоторых случаях невозможными.

Чтобы избежать необходимости деления области интегрирования на конечные части, нужно изменить систему функций, на которой основано интерполирование. Выбор такой системы зависит, во-первых, от области интегрирования, что в нашей задаче означает, будет ли это вся ось х или полуось Мы будем рассматривать только косинус- и синус-преобразования Фурье и в соответствии с этим считать, что областью интегрирования является полуось Такое предположение не является ограничением задачи, так как комплексное преобразование Фурье легко приводится к косинус- и синус-преобразованиям.

Во-вторых, выбор зависит от свойств множества функций, подлежащих интерполированию. Выше мы условились рассматривать функции удовлетворяющие при больших х условию Среди них выделим функции, часто встречающиеся в приложениях и представимые в форме

где непрерывна на полуоси и имеет конечный предел Функцию обладающую такими свойствами, будем называть непрерывной на замкнутой полуоси и предельное значение считать ее значением в бесконечно удаленной точке.

Для приближения таких функций могут быть приняты многие системы простейших функций, ограниченных на полуоси Чтобы сделать вычисления возможно более простыми, примем за основные функции систему простых дробей и будем интерполировать при помощи многочленов от аргумента

Такие многочлены в множестве функций непрерывных на замкнутой полуоси образуют полную систему в метрике С. В самом деле, преобразование аргумента переводит полуось в замкнутый отрезок [0, 1] оси Функция непрерывная на перейдет в функцию непрерывную на [0, 1], рациональные функции перейдут в многочлены от После этого остается сослаться на теорему Вейерштрасса о полноте множества алгебраических многочленов в классе функций, непрерывных на конечном замкнутом отрезке.

Возьмем теперь на полуоси точек и коэффициенты функции выберем так, чтобы ее значения в точках совпадали со значениями

Эти равенства дают линейную систему уравнений для коэффициентов Определитель ее является определителем Вандермонда от аргументов он отличен от нуля, так как все различны между собой. Система имеет единственное решение, и существует, следовательно, единственная рациональная функция вида (9.3.2), удовлетворяющая условиям (9.3.3).

При решении системы (9.3.3) коэффициенты будут найдены как линейные функции величин Подстановка их в (9.3.2) покажет, что есть также линейная функция

Здесь многочлены степени от Они являются функциями влияния узлов интерполирования и удовлетворяют, очевидно, условиям

определяющим их единственным образом.

Сразу же видно, что

После несложных преобразований для получатся другие выражения, показывающие, что коэффициенты отличаются весьма простыми множителями от хорошо известных интерполяционных множителей Лагранжа:

В дальнейшем для вычислений с рациональными функциями полезно найти разложение по степеням В удобной форме оно может быть построено

следующим простым путем. Разложим многочлен по степеням

и внесем разложение в (9.3.6) и (9.3.4):

Во внутренней сумме множители, стоящие перед зависят только от узлов и для употребительных систем узлов они могут быть вычислены заранее и табулированы.

Обратимся теперь к исследованию погрешности интерполирования Ее точные интегральные представления для классов функций достаточно высокой гладкости через производные от функции построены для интерполирования по любой системе координатных функций. Нужное нам представление может быть получено из этих общих результатов как частный случай. Но такой путь требует знания читателями общих результатов или их изложения авторами, что заняло бы много места, мы предпочли получить необходимые представления иным, более коротким путем, воспользовавшись связью нашей задачи с интерполированием алгебраическими многочленами. Напомним, что если заменить переменную, положив то полуось перейдет в единичный отрезок оси многочлен (см. (9.3.2)) перейдет в целый алгебраический многочлен от z степени

Функция преобразуется в некоторую функцию аргумента

узлы интерполирования перейдут в узлы и на оси получим задачу интерполирования многочленом (9.3.8). Погрешность интерполирования в этой новой задаче совпадает с погрешностью

Но выражение для остатка хорошо известно. Воспользуемся формулой Тейлора для считая, что имеет на [0, 1] непрерывную производную порядка

Многочлен интерполируется точно, и совпадает с погрешностью интерполирования интегрального члена. Так как

то

Для получения возвратимся к прежней числовой оси х. Положим Ввиду того, что

между операторами дифференцирования по и по верно равенство

Применив его раз к функции получим следующее правило вычисления производной по пере менной

Легко можно видеть, что после выполнения дифференцирования получится равенство приводимого ниже вида, в котором мы не станем сейчас вычислять коэффициенты

Рассмотрим дифференциальное уравнение Общее его решение есть многочлен от х степени с произвольными коэффициентами, в качестве же полной системы независимых решений можно взять

Этому уравнению эквивалентно уравнение

Оно является уравнением Эйлера с особыми точками Полная система линейно независимых решений его, в которые при преобразовании переходят степени есть Это дает возможность указать простой путь для вычисления

Если записать уравнение (9.3.12) и затем присоединить к нему результаты подстановок в него решений

получится, после некоторых упрощений, следующая система равенств:

Ее можно рассматривать как однородную линейную систему уравнений относительно величин образующих ненулевое решение системы. Определитель системы должен обращаться в нуль, что дает иную запись уравнения (9.3.12):

Если разложить определитель по элементам первой строки, должно получиться уравнение, отличающееся от (9.3.12) постоянным множителем. Поэтому коэффициенты должны быть равны соответственно отношению алгебраических дополнений элементов первой строки детерминанта (9.3.13), начиная со второго, к алгебраическому дополнению первого элемента строки. Это необходимо сделать, так как в (9.3.12) коэффициент при производной высшего порядка приведен к

Возвратимся теперь к преобразованию интеграла (9.3.9) к старым переменным и положим При этом перейдёт

По поводу ядра интеграла (9.3.9), стоящего в фигурных скобках, полезно сделать предварительное замечание, поясняющее его значение. Мы присоединим к ядру множитель

В функции будем рассматривать как независимую переменную и как параметр. При

когда эта функция есть решение уравнения удовлетворяющее в точке условиям когда это решение продолжено тождественным нулем. Само же ядро есть погрешность интерполирования такой функции алгебраическим многочленом степени по значениям в узлах

В переменных отдельные части ядра будут иметь следующие выражения:

Подстановка их в интеграл (9.3.9) дает для погрешности интерполирования приводимое ниже значение

Величина, стоящая внутри фигурных скобок под знаком интеграла, есть не что иное, как погрешность алгебраического интерполирования по переменной х функции по значениям ее в узлах Когда меньше то интерполирование точное и величина в фигурных скобках в (9.3.14) обращается в нуль. Когда же больше все «гасящие» функции равны нулю, и она также равна нулю. Величина в фигурных скобках может принимать значения,

отличные от нуля, только на отрезке, где располагаются Поэтому интеграл по полуоси при условии непрерывности является, по сути дела, собственным.