Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 9.3. Вычислительные формулы, основанные на интерполировании рациональными функциями9.3.1. Введение. Выбор интерполирования, его погрешность.В начале главы мы обращали внимание на то, что интерполирование алгебраическими многочленами хотя и приводит к практически полезным вычислительным правилам, но не всегда является удобным средством для вычислений. Оно требует разбиения полуоси или оси интегрирования на бесконечное число конечных отрезков, количество которых зависит, в частности, от скорости убывания функции Чтобы избежать необходимости деления области интегрирования на конечные части, нужно изменить систему функций, на которой основано интерполирование. Выбор такой системы зависит, во-первых, от области интегрирования, что в нашей задаче означает, будет ли это вся ось х или полуось Во-вторых, выбор зависит от свойств множества функций, подлежащих интерполированию. Выше мы условились рассматривать функции
где Для приближения таких функций
Такие многочлены в множестве функций Возьмем теперь на полуоси
Эти равенства дают линейную систему уравнений для коэффициентов При решении системы (9.3.3) коэффициенты
Здесь
определяющим их единственным образом. Сразу же видно, что
После несложных преобразований для
В дальнейшем для вычислений с рациональными функциями следующим простым путем. Разложим многочлен
и внесем разложение в (9.3.6) и (9.3.4):
Во внутренней сумме множители, стоящие перед Обратимся теперь к исследованию погрешности интерполирования
Функция
узлы интерполирования
Но выражение для остатка
Многочлен
то
Для получения
Применив его
Легко можно видеть, что после выполнения дифференцирования получится равенство приводимого ниже вида, в котором мы не станем сейчас вычислять коэффициенты
Рассмотрим дифференциальное уравнение Этому уравнению эквивалентно уравнение
Оно является уравнением Эйлера с особыми точками Если записать уравнение (9.3.12) и затем присоединить к нему результаты подстановок в него решений
Ее можно рассматривать как однородную линейную систему уравнений относительно величин
Если разложить определитель по элементам первой строки, должно получиться уравнение, отличающееся от (9.3.12) постоянным множителем. Поэтому коэффициенты Возвратимся теперь к преобразованию интеграла (9.3.9) к старым переменным По поводу ядра интеграла (9.3.9), стоящего в фигурных скобках, полезно сделать предварительное замечание, поясняющее его значение. Мы присоединим к ядру множитель В функции
В переменных
Подстановка их в интеграл (9.3.9) дает для погрешности интерполирования
Величина, стоящая внутри фигурных скобок под знаком интеграла, есть не что иное, как погрешность алгебраического интерполирования по переменной х функции отличные от нуля, только на отрезке, где располагаются
|
1 |
Оглавление
|