§ 7.1. Преобразования Фурье

Ниже мы будем рассматривать двойной интеграл Фурье

считая функцию абсолютно интегрируемой на числовой оси Внутренний интеграл по аргументу будет абсолютно сходиться при всех действительных значениях и», и при том равномерно.

Что же касается сходимости двойного интеграла (7.1.1) и его численного значения, то достаточной является приводимая ниже теорема 1 (см., например, [10], стр. 22). Для лучшего понимания ее полезно сделать следующее замечание.

Замечание. Пусть на отрезке задана функция с конечными значениями. Разобьем на конечное число частей точками Составим сумму

Она имеет смысл суммы абсолютных значений изменения на частичных отрезках и зависит от точек Верхняя всевозможных сумм

называется полным абсолютным изменением на отрезке, Если имеет конечное значение, то говорят, что является функцией с ограниченным (конечным) изменением на

Теорема 1. Пусть абсолютно интегрируема на оси — Если на некотором отрезке содержащем внутри себя точку х, имеет ограниченное изменение, то верно равенство

Если же имеет ограниченное изменение на и непрерывна там, то

при этом двойной интеграл сходится к равномерно относительно х во всякой замкнутой внутренней части Равенства (7.1.2) и (7.1.3) называются формулами Фурье. В дальнейшем всюду будем считать, что имеет ограниченное изменение в любом конечном интервале оси Тогда для всех конечных значений х будет выполняться равенство (7.1.2). Кроме того, для упрощения записи будем считать, что все разрывы являются «правильными» и во всех точках X выполняется соотношение . Равенства (7.1.2) и (7.1.3) будут при этом условии иметь одинаковый вид, и ниже мы будем пользоваться равенством (7.1.3).

Интегралу Фурье можно придать более симметричную форму, если воспользоваться комплексными величинами и заменить тригонометрическую функцию ее выражением через показательные функции:

Если выполнить почленное интегрирование и в первом из интегралов заменить переменную и на — и, можно привести формулу Фурье (7.1.3) к виду

Это равенство кратко называют комплексной формулой Фурье. С ней связаны взаимные, или двойственные, соотношения между парами функций

Первое из равенств называется комплексным преобразованием Фурье и переводит оригинал в изображение Второе равенство дает правило перехода от изображения к оригиналу

Приведем еще две формулы Фурье частного вида, но такие, что они в совокупности равносильны общей формуле (7.1.3). Если воспользоваться известным выражением для косинуса разности двух аргументов, равенству (7.1.3) можно придать вид, аналогичный разложению функции в ряд Фурье:

Когда есть четная функция, то

и (7.1.7) переходит в косинус-формулу Фурье.

Аналогично, если есть нечетная функция, то (7.1.7) переходит в синус-формулу Фурье:

Общую формулу Фурье (7.1.3) можно рассматривать как комбинацию частных формул (7.1.8 —9). В самом деле, всякую функцию можно представить как сумму ее четной и нечетной частей:

Внутренний интеграл формулы (7.1.3) будет иметь следующее выражение через

Поэтому из формулы (7.1.3) получим

и общая формула Фурье есть действительно сумма косинус-формулы для и синус-формулы для

С косинус-формулой Фурье (7.1.8) связано соотношение между парой функций

Первое из этих равенств есть косинус-преобразование оригинала в изображение второе же равенство обращает это преобразование.

С синус-формулой Фурье (7.1.9) также связано двойственное соотношение между функциями

Равенство (7.1.12) есть синус-преобразование Фурье, и (7.1.13) — его обращение.

Как можно видеть, комплексное преобразование Фурье (7.1.5) легко приводится к преобразованиям (7.1.10) и (7.1.12). Заменим в (7.1.5) функцию ее разложением на четную и нечетную части: где указаны выше:

и комплексное преобразование (7.1.5), следовательно, есть простая линейная комбинация косинус- и синус-преобразований Фурье.