Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 7.1. Преобразования ФурьеНиже мы будем рассматривать двойной интеграл Фурье
считая функцию Что же касается сходимости двойного интеграла (7.1.1) и его численного значения, то достаточной является приводимая ниже теорема 1 (см., например, [10], стр. 22). Для лучшего понимания ее полезно сделать следующее замечание. Замечание. Пусть на отрезке
Она имеет смысл суммы абсолютных значений изменения
называется полным абсолютным изменением Теорема 1. Пусть
Если же
при этом двойной интеграл сходится к Интегралу Фурье можно придать более симметричную форму, если воспользоваться комплексными величинами и заменить тригонометрическую функцию ее выражением через показательные функции:
Если выполнить почленное интегрирование и в первом из интегралов заменить переменную и на — и, можно привести формулу Фурье (7.1.3) к виду
Это равенство кратко называют комплексной формулой Фурье. С ней связаны взаимные, или двойственные, соотношения между парами функций
Первое из равенств называется комплексным преобразованием Фурье и переводит оригинал Приведем еще две формулы Фурье частного вида, но такие, что они в совокупности равносильны общей формуле (7.1.3). Если воспользоваться известным выражением для косинуса разности двух аргументов, равенству (7.1.3) можно придать вид, аналогичный разложению функции в ряд Фурье:
Когда
и (7.1.7) переходит в косинус-формулу Фурье.
Аналогично, если
Общую формулу Фурье (7.1.3) можно рассматривать как комбинацию частных формул (7.1.8 —9). В самом деле, всякую функцию
Внутренний интеграл формулы (7.1.3) будет иметь следующее выражение через
Поэтому из формулы (7.1.3) получим
и общая формула Фурье есть действительно сумма косинус-формулы для С косинус-формулой Фурье (7.1.8) связано соотношение между парой функций
Первое из этих равенств есть косинус-преобразование оригинала С синус-формулой Фурье (7.1.9) также связано двойственное соотношение между функциями
Равенство (7.1.12) есть синус-преобразование Фурье, и (7.1.13) — его обращение. Как можно видеть, комплексное преобразование Фурье (7.1.5) легко приводится к преобразованиям (7.1.10) и (7.1.12). Заменим в (7.1.5) функцию
и комплексное преобразование (7.1.5), следовательно, есть простая линейная комбинация косинус- и синус-преобразований Фурье.
|
1 |
Оглавление
|