ГЛАВА 8. ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА С ПОМОЩЬЮ РЯДА ФУРЬЕ

Изложение вопроса о применении гармонического анализа к обращению преобразования Лапласа начнем с рассмотрения случаев, которые можно считать вырожденными, когда задача вычислений упрощается и интегральное преобразование Фурье может быть заменено рядом Фурье. Это наверное можно сделать в двух случаях, либо когда функция быстро убывает по абсолютной величине при удалении х в бесконечность, либо когда ее изображение стоящее под знаком интеграла (7.2.2), быстро стремится к нулю при возрастании При изложении ограничимся лишь описанием вычислительных схем, так как проблемы сходимости и оценки погрешности трудны и еще не изучены.

§ 8.1. Случай быстро убывающего оригинала f(x)

Для сокращения записи введем обозначения

При помощи их преобразование Лапласа

и его обращение (7.2.2) могут быть записаны в виде

Предположим теперь, что оригинал а следовательно, и функция обращаются в нуль или имеют пренебрежимо малые значения всюду вне конечного отрезка Разложим в ряд Фурье на и запишем разложение в комплексной форме:

где

Так как имеет вне [0, T] исчезающе малую величину, можно приближенно считать

Погрешность этого равенства имеет значение

и может быть оценена следующим неравенством:

Если в (8.1.2) вместо внести их приближенные значения (8.1.4), получим следующее выражение через значения изображения в равноотстоящих точках

При применении этого равенства к вычислениям важно, чтобы функция достаточно быстро убывала при неограниченном возрастании абсолютного значения . В некоторых случаях этого можно добиться путем предварительной подготовки изображения и ускорения стремления к нулю при Для ознакомления с задачей такой подготовки мы отсылаем читателя к третьей части книги, посвященной этой задаче.