Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 1.2. Комплексный интеграл, осуществляющий обращение преобразования ЛапласаУкажем сейчас на один из возможных общих методов обращения преобразования Лапласа, когда такое обращение дается при помощи комплексного интеграла, в котором интегрирование выполняется вдоль некоторой прямой линии, параллельной мнимой оси комплексной плоскости. Для получения правила обращения будем исходить из двойного интеграла Фурье. Пусть на действительной оси
Равенство (1.2.1) называют формулой Фурье. Внутренний интеграл по переменной к предполагается абсолютно сходящимся при всяких Установим связь между формулой Фурье (1.2.1) и обращением преобразования Лапласа. Допустим, что Будем считать, что функция
Оно выполняется, очевидно, во всех точках непрерывности
или, если возвратиться к функции
Рассмотрим преобразование Лапласа функции
На прямой
Представляет интерес значение изображения
Изображение
Это и есть представление оригинала
Это равенство называется формулой Меллина. Изложенное позволяет считать доказанной приводимую ниже теорему. Теорема 4. Пусть оригинал 1) 2) Тогда верно представление (1.2.3) оригинала
Таким образом, задача обращения преобразования Лапласа сводится к задаче вычисления контурного интеграла (1.2.3) от некоторой регулярной функции. Так как найти точное выражение интеграла (1.2.3) через известные функции удается далеко не всегда, то можно попытаться строить правила численного нахождения его. Но эта задача достаточно трудна, так как, во-первых, контур интегрирования в интеграле (1.2.3) бесконечный, а, во-вторых, подынтегральная функция С другой стороны, функция Построению правил вычисления интеграла Меллина, учитывающих указанные свойства изображения, будут посвящены гл. 4 - 6 книги,
|
1 |
Оглавление
|