Главная > Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа (справочная книга)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 1.2. Комплексный интеграл, осуществляющий обращение преобразования Лапласа

Укажем сейчас на один из возможных общих методов обращения преобразования Лапласа, когда такое обращение дается при помощи комплексного интеграла, в котором интегрирование выполняется вдоль некоторой прямой линии, параллельной мнимой оси комплексной плоскости.

Для получения правила обращения будем исходить из двойного интеграла Фурье. Пусть на действительной оси задана произвольная функция Говорят, что функция представима двойным комплексным интегралом Фурье, если при всех значениях выполняется равенство

Равенство (1.2.1) называют формулой Фурье.

Внутренний интеграл по переменной к предполагается абсолютно сходящимся при всяких что, очевидно, равносильно абсолютной интегрируемости Внешний же интеграл понимается в смысле главного значения, т. е. как предел интеграла, взятого по симметричному относительно точки отрезку при условии

Установим связь между формулой Фурье (1.2.1) и обращением преобразования Лапласа. Допустим, что есть произвольный оригинал, и предположим, что при некотором значении с произведение является абсолютно интегрируемой функцией на полуоси Положим Отметим, что при отрицательных. функция а следовательно, и равны нулю.

Будем считать, что функция представима интегралом Фурье (1.2.1). Для упрощения записи будем считать, что в точках разрыва выполняется равенство (это условие несущественно изменит задачу, так как множество точек разрыва функций имеет меру нуль и изменение их значений на таком множестве не повлияет на величины интегралов)

Оно выполняется, очевидно, во всех точках непрерывности Формула Фурье для функции примет вид

или, если возвратиться к функции

Рассмотрим преобразование Лапласа функции

На прямой ввиду абсолютной интегрируемости оно сходится при всяких и, значит, преобразование будет сходиться в полуплоскости

Кроме того, будет регулярной аналитической функцией при

Представляет интерес значение изображения при

Изображение стоит под знаком внутреннего интеграла в (1.2.2), так что для верно равенство

Это и есть представление оригинала через его изображение его предпочитают записывать при помощи комплексной переменной На прямой будет и полученное равенство переходит в следующее:

Это равенство называется формулой Меллина.

Изложенное позволяет считать доказанной приводимую ниже теорему.

Теорема 4. Пусть оригинал таков, что при некотором значении с функция удовлетворяет условиям:

1) абсолютно интегрируема на полуоси ;

2) представима двойным интегралом Фурье.

Тогда верно представление (1.2.3) оригинала через его изображение при этом предполагается, что в точках разрыва функции выполняется равенство

Таким образом, задача обращения преобразования Лапласа сводится к задаче вычисления контурного интеграла (1.2.3) от некоторой регулярной функции. Так как найти точное выражение интеграла (1.2.3) через известные функции удается далеко не всегда, то можно попытаться строить правила численного нахождения его. Но эта задача

достаточно трудна, так как, во-первых, контур интегрирования в интеграле (1.2.3) бесконечный, а, во-вторых, подынтегральная функция испытывает колебания на линии интегрирования, причем эти колебания будут тем сильнее, чем большее значение принимает параметр

С другой стороны, функция стоящая под знаком интеграла, не является произвольной функцией, а есть изображение со всеми свойствами, о которых говорилось ранее. Этот факт в некоторой степени облегчает вычисление интеграла (1.2.3), так как свойства изображения могут быть заранее учтены при построении правил численного обращения преобразования Лапласа.

Построению правил вычисления интеграла Меллина, учитывающих указанные свойства изображения, будут посвящены гл. 4 - 6 книги,

1
Оглавление
email@scask.ru