§ 1.2. Комплексный интеграл, осуществляющий обращение преобразования Лапласа

Укажем сейчас на один из возможных общих методов обращения преобразования Лапласа, когда такое обращение дается при помощи комплексного интеграла, в котором интегрирование выполняется вдоль некоторой прямой линии, параллельной мнимой оси комплексной плоскости.

Для получения правила обращения будем исходить из двойного интеграла Фурье. Пусть на действительной оси задана произвольная функция Говорят, что функция представима двойным комплексным интегралом Фурье, если при всех значениях выполняется равенство

Равенство (1.2.1) называют формулой Фурье.

Внутренний интеграл по переменной к предполагается абсолютно сходящимся при всяких что, очевидно, равносильно абсолютной интегрируемости Внешний же интеграл понимается в смысле главного значения, т. е. как предел интеграла, взятого по симметричному относительно точки отрезку при условии

Установим связь между формулой Фурье (1.2.1) и обращением преобразования Лапласа. Допустим, что есть произвольный оригинал, и предположим, что при некотором значении с произведение является абсолютно интегрируемой функцией на полуоси Положим Отметим, что при отрицательных. функция а следовательно, и равны нулю.

Будем считать, что функция представима интегралом Фурье (1.2.1). Для упрощения записи будем считать, что в точках разрыва выполняется равенство (это условие несущественно изменит задачу, так как множество точек разрыва функций имеет меру нуль и изменение их значений на таком множестве не повлияет на величины интегралов)

Оно выполняется, очевидно, во всех точках непрерывности Формула Фурье для функции примет вид

или, если возвратиться к функции

Рассмотрим преобразование Лапласа функции

На прямой ввиду абсолютной интегрируемости оно сходится при всяких и, значит, преобразование будет сходиться в полуплоскости

Кроме того, будет регулярной аналитической функцией при

Представляет интерес значение изображения при

Изображение стоит под знаком внутреннего интеграла в (1.2.2), так что для верно равенство

Это и есть представление оригинала через его изображение его предпочитают записывать при помощи комплексной переменной На прямой будет и полученное равенство переходит в следующее:

Это равенство называется формулой Меллина.

Изложенное позволяет считать доказанной приводимую ниже теорему.

Теорема 4. Пусть оригинал таков, что при некотором значении с функция удовлетворяет условиям:

1) абсолютно интегрируема на полуоси ;

2) представима двойным интегралом Фурье.

Тогда верно представление (1.2.3) оригинала через его изображение при этом предполагается, что в точках разрыва функции выполняется равенство

Таким образом, задача обращения преобразования Лапласа сводится к задаче вычисления контурного интеграла (1.2.3) от некоторой регулярной функции. Так как найти точное выражение интеграла (1.2.3) через известные функции удается далеко не всегда, то можно попытаться строить правила численного нахождения его. Но эта задача

достаточно трудна, так как, во-первых, контур интегрирования в интеграле (1.2.3) бесконечный, а, во-вторых, подынтегральная функция испытывает колебания на линии интегрирования, причем эти колебания будут тем сильнее, чем большее значение принимает параметр

С другой стороны, функция стоящая под знаком интеграла, не является произвольной функцией, а есть изображение со всеми свойствами, о которых говорилось ранее. Этот факт в некоторой степени облегчает вычисление интеграла (1.2.3), так как свойства изображения могут быть заранее учтены при построении правил численного обращения преобразования Лапласа.

Построению правил вычисления интеграла Меллина, учитывающих указанные свойства изображения, будут посвящены гл. 4 - 6 книги,