Функция
будет аналитична в круге
и для ее коэффициентов на основании неравенства Коши верны неравенства
Из полученных неравенств для любого
находим
Отсюда видно, что ряд (2.2.2) сходится во всей плоскости
т. е.
является целой функцией переменной
Из неравенства (2.2.3) непосредственно следует, что для
Таким образом, для функции
выполняется неравенство вида (1.1.3) и она является оригиналом.
Умножив ряд (2.2.2) на
получим ряд, равномерно сходящийся для всех значений
Значит, его можно почленно проинтегрировать по
в пределах от нуля до бесконечности. Тогда
т. е.
Теорема доказана.