§ 2.2. Разложение оригинала в степенные ряды

Предположим, что изображение аналитично в бесконечно удаленной точке. Тогда, как известно из операционного исчисления, Разложим функцию ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки и покажем, что ее оригинал можно получить, взяв сумму оригиналов членов этого разложения. Зная, что оригиналом функции является функция сформулируем следующую теорему.

Теорема 3. Если аналитична в бесконечно удаленной точке и имеет в ее окрестности разложение Лорана

то оригиналом служит функция

которая является целой функцией.

Доказательство. По условию теоремы функция аналитична в круге Положим и

Функция будет аналитична в круге и для ее коэффициентов на основании неравенства Коши верны неравенства

Из полученных неравенств для любого находим

Отсюда видно, что ряд (2.2.2) сходится во всей плоскости т. е. является целой функцией переменной

Из неравенства (2.2.3) непосредственно следует, что для

Таким образом, для функции выполняется неравенство вида (1.1.3) и она является оригиналом.

Умножив ряд (2.2.2) на получим ряд, равномерно сходящийся для всех значений Значит, его можно почленно проинтегрировать по в пределах от нуля до бесконечности. Тогда

т. е.

Теорема доказана.