3.1.2. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов Якоби.

Пусть весовая функция имеет вид

Построим многочлен Но прежде рассмотрим так называемые смещенные многочлены Они отличаются от многочленов Якоби тем, что интервал их определения сведен к отрезку [0, 1] вместо обычного т. е.

Такие многочлены зависят от двух параметров, которые мы обозначили и при любых значениях этих параметров могут быть определены равенством

которое часто называют формулой Род рига для . Многочлены образуют ортогональную систему на [0, 1] по весу и для них верны равенства

Ортонормированными многочленами, которые в п. 3.1.1 обозначены здесь будут

Коэффициенты разложения по многочленам имеют значения

Поэтому многочлен совпадающий с частичной суммой обобщенного ряда Фурье, имеет вид

Можно построить простое выражение через коэффициенты многочленов и величины Пусть

Тогда

По этой формуле можно вычислять коэффициенты разложения (3.1.13), так как числа известны, а значения заданы.

Таким образом, задача нахождения многочлена который приближает функцию решена.

В п. 3.1.1 мы обращали внимание на то, что сходимость последовательности приближений равносильна возможности разложения в ряд по смещенным многочленам Якоби

Мы приведем сейчас теорему, дающую условия, достаточные для возможности такого разложения. Сформулируем ее для обычных многочленов Якоби рассматриваемых на отрезке но она просто переносится на разложение (3.1.16) по смещенным многочленам Якоби.

Сначала приведем теорему, дающую связь между частичными суммами ряда по многочленам Якоби и ряда Фурье.

Теорема 1. Пусть на отрезке дана измеримая функция и пусть имеют конечные значения

интегралы

Если означает частичную сумму ряда по многочленам Якоби для функции означает частичную сумму ряда Фурье по косинусам для функции

то в промежутке верно соотношение

Оно выполняется равномерно относительно х на всяком отрезке вида где

Из приведенной теоремы, в частности, следует, что если при каком-либо значении ряд Фурье для функции сходится к то при соответствующем значении частичная сумма будет стремиться к

Что касается сходимости ряда Фурье, то для многих случаев является достаточной следующая

Теорема 2. Пусть есть -периодическая функция, интегрируемая с абсолютным значением на , и есть произвольный отрезок на оси х. Если имеет ограниченное изменение на I, то ряд Фурье для сходится к значению во всякой точке 0 внутри Если кроме того, непрерывна на I, то ряд Фурье сходится к равномерно относительно 0 на каждом отрезке, лежащем внутри

Функция определенная равенством (3.1.18), является -периодической и четной. Ряд Фурье для нее будет рядом по косинусам кратных дуг. К определению его

сходимости может быть применена только что сформулированная теорема. Будем считать, что отрезок I лежит внутри Так как множитель, стоящий справа в (3.1.18) перед непрерывен на I и принимает значения, не меньшие положительного числа, то непрерывность на I равносильна непрерывности там Кроме того, этот множитель, очевидно, имеет ограниченное изменение на и поэтому ограниченности изменений равносильны.

Если воспользоваться двумя приведенными теоремами, то относительно возможности разложения функции в ряд (3.1.16) по смещенным многочленам Якоби или, что равносильно, относительно сходимости последовательности приближений можно высказать приводимую ниже теорему.

Теорема 3. Пусть для функции выполняются условия:

1) имеют конечное значение интегралы

2) на отрезке лежащем внутри [0, 1], имеет ограниченное изменение.

Тогда для всякой точки х, лежащей внутри I, верны равенства

Если, кроме того, непрерывна на I, то на всяком отрезке вида равномерно относительно х будет верно равенство

Возвратимся, наконец, к исходной задаче о нахождении функции по изображению определенному

равенством (3.1.1). Для этого в равенстве вида (3.1.3) с весовой функцией заменим переменную х, положив

Такая же замена должна быть сделана в интегралах, участвующих в условии 1) теоремы 3. Вычисления опускаем ввиду их простоты.

Теорема 3 позволяет сказать, что для интересующей нас задачи верным является приводимое ниже утверждение.

Пусть по значениям в целых точках изображения и многочленам по правилам (3.1.15) и (3.1.12) вычислены величины и составлены функции

которые принимаются за приближения к

Если выполняются условия:

1) имеют конечное значение интегралы

2) на отрезке функция имеет ограниченное изменение, то при всяком верно равенство

Если же, кроме того, функция непрерывна на то при всяком равномерно относительно на отрезке имеет место сходимость

В следующих трех пунктах будут рассмотрены частные случаи многочленов Якоби — многочлены Лежандра, многочлены Чебышева первого и второго рода, представляющие в вычислениях специальный интерес. В этих случаях вычисления могут быть выполнены с несколько большей полнотой.