Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 3.1.2. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов Якоби.Пусть весовая функция имеет вид
Построим многочлен
Такие многочлены зависят от двух параметров, которые мы обозначили
которое часто называют формулой Род рига для
Ортонормированными многочленами, которые в п. 3.1.1 обозначены
Коэффициенты
Поэтому многочлен
Можно построить простое выражение
Тогда
По этой формуле можно вычислять коэффициенты Таким образом, задача нахождения многочлена В п. 3.1.1 мы обращали внимание на то, что сходимость последовательности приближений
Мы приведем сейчас теорему, дающую условия, достаточные для возможности такого разложения. Сформулируем ее для обычных многочленов Якоби Сначала приведем теорему, дающую связь между частичными суммами ряда по многочленам Якоби и ряда Фурье. Теорема 1. Пусть на отрезке интегралы
Если
то в промежутке
Оно выполняется равномерно относительно х на всяком отрезке вида Из приведенной теоремы, в частности, следует, что если при каком-либо значении Что касается сходимости ряда Фурье, то для многих случаев является достаточной следующая Теорема 2. Пусть Функция сходимости может быть применена только что сформулированная теорема. Будем считать, что отрезок I лежит внутри Если воспользоваться двумя приведенными теоремами, то относительно возможности разложения функции Теорема 3. Пусть для функции 1) имеют конечное значение интегралы
2) на отрезке Тогда для всякой точки х, лежащей внутри I, верны равенства
Если, кроме того,
Возвратимся, наконец, к исходной задаче о нахождении функции равенством (3.1.1). Для этого в равенстве вида (3.1.3) с весовой функцией
Такая же замена должна быть сделана в интегралах, участвующих в условии 1) теоремы 3. Вычисления опускаем ввиду их простоты. Теорема 3 позволяет сказать, что для интересующей нас задачи верным является приводимое ниже утверждение. Пусть по значениям в целых точках
которые принимаются за приближения к Если выполняются условия: 1) имеют конечное значение интегралы
2) на отрезке
Если же, кроме того, функция
В следующих трех пунктах будут рассмотрены частные случаи многочленов Якоби — многочлены Лежандра, многочлены Чебышева первого и второго рода, представляющие в вычислениях специальный интерес. В этих случаях вычисления могут быть выполнены с несколько большей полнотой.
|
1 |
Оглавление
|