ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ

§ 4.1. Общая теория интерполяционных методов

Рассмотрим методы вычисления интеграла Меллина

основанные на замене подынтегральной функции другой функцией, которая интерполирует по значениям ее в нескольких точках.

Погрешность вычисления интеграла (4.1.1) будет зависеть, главным образом, от той точности, с которой мы сможем интерполировать функцию Чтобы получить хорошую точность, важно согласовать способ интерполирования со свойствами функции которая является не произвольной, а функцией-изображением.

Для интерполирования можно распорядиться выбором узлов в которых берутся значения а также выбором функций положенных в основу интерполирования. Как известно, изображение стремится к нулю, если точка удаляется на бесконечность так, что действительная часть при этом неограниченно увеличивается. В первую очередь здесь представляет интерес тот случай, когда убывает по степенному закону. Поэтому будем предполагать, что представима в виде где функция регулярна в полуплоскости и ограничена в полуплоскости . Если дробное число, то под понимается та ветвь, для которой

при действительных Параметр а должен удовлетворять условию и выбирается так, чтобы функция в полуплоскости обладала «лучшими свойствами», чем функция Под улучшением свойств функции будем понимать следующее. Функция как изображение, является регулярной в полуплоскости Особенности поведения определяются ее особыми точками, лежащими в полуплоскости в частности их расположением. Изменение при будет, вообще говоря, тем более гладким, чем меньше особых точек имеет чем более простыми они будут и чем дальше от прямой эти точки расположены.

Параллельным переносом осей координат всегда можно сделать поэтому будем предполагать, что функция имеет вид

где регулярна при и непрерывна в полуплоскости включая бесконечно удаленную точку. Заменяя функцию в интеграле (4.1.1) выражением (4.1.2), получим

Для интеграла (4.1.3) будем строить интерполяционную квадратурную формулу, основанную на интерполировании функции Его мы выполним при помощи линейных комбинаций некоторой системы функций Выбор системы подчиним следующему условию полноты: какова бы ни была функция указанного выше вида, для любых должна существовать такая линейная комбинация чтобы в области выполнялось неравенство

При наших предположениях относительно функции за естественно взять не многочлены, а рациональные функции от ограниченные при полюсы которых лежат в полуплоскости Кроме этого, функции должны удовлетворять еще существенному в практике счета требованию: вычисления с ними должны быть достаточно простыми. Наиболее же простыми вычисления будут в том случае, если за принять отрицательные степени, и интерполировать функцию многочленами от

Что касается узлов то будем сейчас считать их произвольными, расположенными справа от прямой Частные случаи расположения узлов на действительной оси будут рассмотрены в следующих параграфах этой главы.

Возьмем точки лежащие в полуплоскости и по ним построим многочлен интерполирующий функцию

где

Подставляя (4.1.4) в интеграл (4.1.3), получим следующую формулу для его вычисления:

где

Отбросив в формуле (4.1.6) остаточный член получим приближенную формулу для вычисления оригинала по изображению..

Займемся теперь вычислением коэффициентов Разложим многочлен по степеням

Тогда

При помощи (4.1.8) легко могут быть вычислены коэффициенты для любых значений Для этого необходимо знать только значения которые зависят лишь от выбранных узлов Для наиболее часто встречающихся способов выбора значения могут быть вычислены заранее.