Главная > Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа (справочная книга)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА ПРИ ПОМОЩИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ

§ 4.1. Общая теория интерполяционных методов

Рассмотрим методы вычисления интеграла Меллина

основанные на замене подынтегральной функции другой функцией, которая интерполирует по значениям ее в нескольких точках.

Погрешность вычисления интеграла (4.1.1) будет зависеть, главным образом, от той точности, с которой мы сможем интерполировать функцию Чтобы получить хорошую точность, важно согласовать способ интерполирования со свойствами функции которая является не произвольной, а функцией-изображением.

Для интерполирования можно распорядиться выбором узлов в которых берутся значения а также выбором функций положенных в основу интерполирования. Как известно, изображение стремится к нулю, если точка удаляется на бесконечность так, что действительная часть при этом неограниченно увеличивается. В первую очередь здесь представляет интерес тот случай, когда убывает по степенному закону. Поэтому будем предполагать, что представима в виде где функция регулярна в полуплоскости и ограничена в полуплоскости . Если дробное число, то под понимается та ветвь, для которой

при действительных Параметр а должен удовлетворять условию и выбирается так, чтобы функция в полуплоскости обладала «лучшими свойствами», чем функция Под улучшением свойств функции будем понимать следующее. Функция как изображение, является регулярной в полуплоскости Особенности поведения определяются ее особыми точками, лежащими в полуплоскости в частности их расположением. Изменение при будет, вообще говоря, тем более гладким, чем меньше особых точек имеет чем более простыми они будут и чем дальше от прямой эти точки расположены.

Параллельным переносом осей координат всегда можно сделать поэтому будем предполагать, что функция имеет вид

где регулярна при и непрерывна в полуплоскости включая бесконечно удаленную точку. Заменяя функцию в интеграле (4.1.1) выражением (4.1.2), получим

Для интеграла (4.1.3) будем строить интерполяционную квадратурную формулу, основанную на интерполировании функции Его мы выполним при помощи линейных комбинаций некоторой системы функций Выбор системы подчиним следующему условию полноты: какова бы ни была функция указанного выше вида, для любых должна существовать такая линейная комбинация чтобы в области выполнялось неравенство

При наших предположениях относительно функции за естественно взять не многочлены, а рациональные функции от ограниченные при полюсы которых лежат в полуплоскости Кроме этого, функции должны удовлетворять еще существенному в практике счета требованию: вычисления с ними должны быть достаточно простыми. Наиболее же простыми вычисления будут в том случае, если за принять отрицательные степени, и интерполировать функцию многочленами от

Что касается узлов то будем сейчас считать их произвольными, расположенными справа от прямой Частные случаи расположения узлов на действительной оси будут рассмотрены в следующих параграфах этой главы.

Возьмем точки лежащие в полуплоскости и по ним построим многочлен интерполирующий функцию

где

Подставляя (4.1.4) в интеграл (4.1.3), получим следующую формулу для его вычисления:

где

Отбросив в формуле (4.1.6) остаточный член получим приближенную формулу для вычисления оригинала по изображению..

Займемся теперь вычислением коэффициентов Разложим многочлен по степеням

Тогда

При помощи (4.1.8) легко могут быть вычислены коэффициенты для любых значений Для этого необходимо знать только значения которые зависят лишь от выбранных узлов Для наиболее часто встречающихся способов выбора значения могут быть вычислены заранее.

1
Оглавление
email@scask.ru