§ 4.5. Некоторые теоремы о сходимости интерполирования

4.5.1. Введение.

В предыдущих параграфах, мы рассмотрели интерполяционные квадратурные формулы (4.1.6) и (4.3.7) для приближенного вычисления интеграла Меллина. Остаточные члены этих формул имеют вид

где погрешности интерполирования функций Квадратурный процесс (4.1.6) или (4.3.7) будет сходящимся для функции если остаточные члены (4.5.1) или (4.5.2) будут стремиться к нулю при

Сходимость или расходимость указанного процесса зависит как от свойств функции так и от выбора

узлов Задача исследования сходимости заключается в выяснении связей между свойствами и узлами при которых можно быть уверенным в стремлении остаточного члена к нулю.

Ниже, в § 4.6, будет рассмотрено решение этой задачи для некоторых конкретных узлов и для некоторых частных классов функций

Из формул (4.5.1) и (4.5.2) видно, что надеяться на сходимость квадратурного процесса можно будет только при наличии сходимости интерполирования. Поэтому исследование начнем с изучения сходимости интерполирования.

Начиная с § 4.3, при построении правил вычисления мы выполняли интерполирование вспомогательной функции помощи целого многочлена от х. При принятых условиях не ограничивающих общности результатов, зависимость между будет Интерполирование равносильно интерполированию при помощи рациональных функций, являющихся многочленами

Приближенное выражение для указано в равенствах (4.3.5), (4.3.6).

В интегральном представлении оригинала (4.3.1) вдоль линии интегрирования и справа от нее функция является регулярной всюду, кроме, может быть, бесконечно удаленной точки. При преобразовании линия перейдет в окружность, ортогональную к действительной оси комплексной плоскости х и проходящую через точки Центр окружности лежит в точке и радиус равен При эта окружность, которую мы обозначим лежит внутри круга за исключением точки и при неограниченном росте с она сжимается к

На окружности и внутри ее функция регулярна всюду, исключая, может быть, точку где

хотя и является, по предположению о непрерывной, но может быть не голоморфной.

Сходимость алгебраического интерполирования анали тических функций в замкнутой области при наличии особых точек на границе исследована недостаточно. Это в особенности относится к тому случаю, рассмотрением которого авторы ограничиваются в настоящей главе, когда узлы интерполирования берутся на действительном диаметре окружности что равносильно расположению узлов на полуоси плоскости Трудность такой проблемы сходимости и малая ее изученность побудили авторов ограничиться рассмотрением узкого класса изображений и оригиналов когда является функцией, регулярной в бесконечно удаленной точке плоскости В этом случае соответствующая функция будет регулярной не только в единичном круге но и в окрестности точки

Как выяснится ниже, сделанное предположение позволяет дать ответ на многие вопросы о сходимости интерполирования а следовательно, и на вопросы о сходимости процесса приближенного вычисления оригинала

Замечание. Мы говорим здесь об узком множестве оригиналов на основании следующих соображений. Если регулярна при то изображение представимо в этой области Степенным рядом

Для коэффициентов ряда верна приводимая ниже оценка: для всякого существует такое число что выполняется неравенство

Всюду выше показатель входящий в равенство считался положительным. В задаче же отыскания оригинала для имеющей представление можно считать так как при возможно выделить в ряду справа первый член Для него оригинал известен, является табличным и равен После этого останется найти оригинал для соответствующего показателю

В выражении (4.1.1) для выберем Тогда линия интегрирования будет лежать внутри области

регулярности и ряд на ней будет сходиться равномерно. Кроме того, так как в равенстве

ядро на линии интегрирования ограничено следующей величиной:

и является, ввиду абсолютно интегрируемым, в возможно почленное интегрирование. Кроме того, так как оригиналы функций известны и имеют значение для получится представление в форме степенного ряда

Оценка же для коэффициента говорит о том, что степенной ряд, входящий в правую часть, сходится при всех конечных значениях Оригинал отличается от целой функции частного вида лишь степенным множителем Функции такого о вида далеко не исчерпывают все практически важные виды оригиналов.