5.2.3. Дифференциальное уравнение, решением которого являются многочлены ...

Для многочленов можно указать линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, которому они удовлетворяют.

В самом деле, для как мы уже установили, имеет место условие ортогональности

где произвольный многочлен степени не выше

Если перейти к переменной то это условие примет вид

где С — окружность радиуса с центром в точке

Для вывода дифференциального уравнения рассмотрим следующий интеграл:

Интегрированием по частям получаем

Первый член правой части обращается в нуль, так как если перейти снова к переменной то выражение стремлении к бесконечности по прямой будет стремиться к нулю. Если то и интеграл равен нулю.

Если же то интегрируем еще раз по частям!

Первое слагаемое правой части снова обращается в нуль. Рассмотрим второе слагаемое. В квадратных скобках под знаком интеграла стоит некоторый многочлен степени следовательно, в силу условия (5.2.8) интеграл равен нулю при Таким образом, мы доказали, что при интеграл равен нулю:

Последнее равенство означает, что многочлен степени стоящий в квадратных скобках, ортогонален с весом для Отсюда можно заключить, что этот многочлен отличается от лишь постоянным множителем

Для определения множителя достаточно сравнить в последней формуле коэффициейты при

Отсюда или .

Таким образом, доказана

Теорема 3. Многочлен определяемый формулой (5.2.1), является решением линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами