5.2.3. Дифференциальное уравнение, решением которого являются многочлены ...
Для многочленов
можно указать линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, которому они удовлетворяют.
В самом деле, для
как мы уже установили, имеет место условие ортогональности
где
произвольный многочлен степени не выше
Если перейти к переменной
то это условие примет вид
где С — окружность радиуса
с центром в точке
Для вывода дифференциального уравнения рассмотрим следующий интеграл:
Интегрированием по частям получаем
Первый член правой части обращается в нуль, так как если перейти снова к переменной
то выражение
стремлении
к бесконечности по прямой
будет стремиться к нулю. Если
то и интеграл
равен нулю.
Если же
то интегрируем еще раз по частям!