§ 8.2. Случай быстрого убывания модуля изображения F(p)

Функцию будем считать абсолютно интегрируемой на оси — и пренебрежимо малой вне конечного отрезка Что же касается ее поведения на самом отрезке то на нем есть регулярная аналитическая функция со значениями, равными нулю с принятой точностью на концах отрезка. Она может быть разложена в ряд Фурье. Разложение запишем в комплексной форме:

Так как вне функция считается пренебрежимо малой, верно с принятой точностью равенство

погрешность которого может быть грубо оценена при помощи неравенства

Внесем в интеграл (8.2.3) вместо разложение (8.2.1) и выполним почленное интегрирование ряда.

Если принять во внимание равенство

для оригинала получим следующее приближенное выражение:

Когда то, как следует сразу же из равенств (8.2.2—3), для функции получаем значение

Применение (8.2.5) к вычислению оригинала требует вычисления коэффициентов Фурье (8.2.2) функции Для ознакомления с методами таких вычислений мы отсылаем к специальной литературе (см. [7], [91).