§ 7.2. Приведение интеграла типа Меллина к преобразованию Фурье

Укажем на связь между обращением преобразования Лапласа и преобразованием Фурье. Рассмотрим интеграл Меллина

при единственном предположении о функции будем считать ее заданной и абсолютно интегрируемой на прямой Интеграл сходится равномерно относительно х на оси и является там непрерывной функцией х.

Если в (7.2.1) внести вместо его значение на линии интегрирования и принять во внимание, что в величине множитель от переменной интегрирования не зависит, можно (7.2.1) преобразовать к виду

показывающему, что вычисление интеграла Меллина приводится к комплексному преобразованию Фурье функции

Этот простой факт позволяет для преобразования Меллина применить все известные методы численного преобразования Фурье.

В § 7.1 мы обращали внимание на то, что преобразование Фурье функции легко приводится к более простым косинус- и синус-преобразованиям четной и нечетной частей функции

Изложенное дает возможность привести вычисление интегралов Меллина к вычислению косинус- и синус- преобразований Фурье. Преимущественно на этих последних преобразованиях мы остановим в дальнейшем свсе внимание.