ГЛАВА 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ

§ 9.1. Несколько предварительных замечаний

Для численного осуществления преобразования Фурье, т. е. для вычисления интегралов

могут быть применены многие известные классические правила интегрирования, такие, например, как формулы трапеций, парабол и другие, основанные на формулах Котеса, Гаусса и т. д.

Мы не будем останавливаться на таких правилах по двум причинам: во-первых, эти формулы, так же как и их погрешности, хорошо известны и изучены достаточно подробно; во-вторых, все они имеют существенный недостаток, на который полезно обратить сейчас внимание, чтобы пояснить причины, побудившие не ограничиваться указанными правилами, а строить другие формулы, более удобные для вычисления интегралов Фурье.

Формулы, которые выше имелись в виду, получены при помощи замены интегрируемой функции на всем отрезке интегрирования или его частях на алгебраический многочлен невысокой степени. Поэтому они будут давать, наверное, хорошую точность, если интегрируемая функция является достаточно гладкой и не быстро изменяющейся.

В интеграле (9.1.1) интегрируемой функцией является произведение Если параметр и есть большое число, то функция будет быстро колебаться и для того, чтобы более или менее точно проследить за изменением произведения и получить значение интеграла с допустимой погрешностью, даже при медленно изменяющейся функции нужно будет взять в формуле квадратур большое число узлов. Последнее же может сделать вычисления трудными или даже невыполнимыми. Аналогичное можно сказать об интегралах (9.1.2 —3).

Применение общих квадратурных формул может иметь лишь ограниченное значение: они могут практически быть полезными для вычислений интегралов только для небольших значений и.

Чтобы построить правила вычислений, пригодные при изменении и в широких границах, необходимо заранее учитывать наличие множителей Это можно сделать, принимая, например, такие множители за весовые функции.

Кроме того, так как и может принимать много значений, часть из которых предвидеть заранее не всегда можно, правила вычислений желательно построить так, чтобы они содержали параметр и в буквенном виде и были удобны для счета при любых, в частности при больших, значениях и.

Будем считать функцию настолько быстро стремящейся к нулю при что обеспечивается сходимость интегралов или Ради определенности часто будем предполагать, что при больших значениях 111 выполняется неравенство