В этом случае могут быть сформулированы следующие теоремы.
Теорема 5. Если функция
регулярна в круге
и в окрестности
точки
то интерполяционный процесс (4.5.3), построенный по любым узлам, лежащим на отрезке
будет равномерно сходиться к
на линии
которую можно принять за линию интегрирования. Отрезок 0, будет наибольшим, принадлежащим диаметру
обеспечивающим равномерную сходимость интерполирования по любым узлам, лежащим на нем, для функций, регулярных в указанной области.
Эта теорема доказывается на основании теоремы В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева, которую мы привели при доказательстве теоремы 2. Здесь множество
сумма кругов
множество
окружность
Чтобы построить
необходимо найти множество центров кругов, содержащих В и принадлежащих
кроме того, таких, центры которых лежат на отрезке
Очевидно, что этим множеством будет отрезок
Теорема доказана.
Замечание. В условиях теоремы 5 равномерная сходимость интерполирования имеет место не только на контуре
но также внутри его.
Если перейти к старой переменной
и функции
то теорему 5 можно сформулировать так:
Теорема 5а. Если функция
регулярна в полуплоскости
и в окрестности
бесконечно удаленной точки, то интерполяционный процесс (4.1.4), построенный по любым узлам
лежащим на действительной оси так, что
будет равномерно сходиться к
в полуплоскости
если с выбрать таким, что
Полуось
будет наибольшей областью на действительной оси, обеспечивающей равномерную сходимость интерполирования по любым узлам, лежащим на ней, для функций
регулярных в указанной выше области.
Следствие. Если функция
регулярна в полуплоскости
и окрестности бесконечно удаленной
точки
то по теореме 5а интерполяционный процесс будет сходиться равномерно в полуплоскости
по любым узлам, лежащим на действительной полуоси
в частности, он будет сходиться равномерно и для равноотстоящих узлов
рассмотренных в § 4.2.
При доказательстве теоремы о сходимости квадратурного процесса для равноотстоящих узлов нам, как и выше, потребуется равномерная сходимость интерполирования не только в полуплоскости
но также и в некоторой окрестности
бесконечно удаленной точки. Для достижения этого предположим, как в § 4.2, что функция
регулярна в полуплоскости
Кроме того, допустим, что она регулярна в области
Тогда равномерная сходимость интерполирования как для равноотстоящих узлов, так и для любых других узлов, лежащих на полуоси
будет иметь место не только в полуплоскости
но также в более широкой области. Чтобы показать это, перейдем к переменной
тогда функция
будет регулярна в полуплоскости
и в области
Узлы интерполирования
будут лежать на отрезке [0, 1].
Справедлива
Теорема 6. Если функция
регулярна в полуплоскости
и в окрестности
нулевой точки, то интерполяционный процесс (4.5.3), построенный по узлам
или по любым другим узлам, лежащим на отрезке [0, 1], будет сходиться равномерно в области В, являющейся пересечением двух кругов
Область В будет наибольшей областью, для которой имеет место равномерная сходимость интерполирования при любой системе узлов из [0, 1].
Доказательство. Эта теорема сразу же следует из теоремы В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева (см. сноску на стр. 77). В ней установлено, что если
два замкнутых множества точек плоскости
наибольший замкнутый круг, содержащийся в
и имеющий центр в точке
то множество
является