4.5.3. Сходимость интерполяционного процесса вида (4.1.4).

Прежде всего выполним преобразование Оно переведет полуплоскость в круг радиуса с центром в точке Полупрямая перейдет в диаметр этого круга, лежащий на действительной оси, линия интегрирования где на которой мы интерполируем функцию, перейдет в окружность, лежащую внутри указанного выше круга и касающуюся его окружности в точке Если с выбрать достаточно большим, то радиус этой окружности можно сделать сколь угодно малым. Функция регулярная в полуплоскости преобразуется в функцию регулярную в круге

Интерполирование функции (см. (4.1.4)) по узлам, лежащим на действительной оси станет алгебраическим интерполированием функции по узлам, лежащим на диаметре круга

В этом случае могут быть сформулированы следующие теоремы.

Теорема 5. Если функция регулярна в круге и в окрестности точки то интерполяционный процесс (4.5.3), построенный по любым узлам, лежащим на отрезке будет равномерно сходиться к на линии которую можно принять за линию интегрирования. Отрезок 0, будет наибольшим, принадлежащим диаметру обеспечивающим равномерную сходимость интерполирования по любым узлам, лежащим на нем, для функций, регулярных в указанной области.

Эта теорема доказывается на основании теоремы В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева, которую мы привели при доказательстве теоремы 2. Здесь множество сумма кругов множество окружность Чтобы построить необходимо найти множество центров кругов, содержащих В и принадлежащих кроме того, таких, центры которых лежат на отрезке Очевидно, что этим множеством будет отрезок Теорема доказана.

Замечание. В условиях теоремы 5 равномерная сходимость интерполирования имеет место не только на контуре но также внутри его.

Если перейти к старой переменной и функции то теорему 5 можно сформулировать так:

Теорема 5а. Если функция регулярна в полуплоскости и в окрестности бесконечно удаленной точки, то интерполяционный процесс (4.1.4), построенный по любым узлам лежащим на действительной оси так, что будет равномерно сходиться к в полуплоскости если с выбрать таким, что

Полуось будет наибольшей областью на действительной оси, обеспечивающей равномерную сходимость интерполирования по любым узлам, лежащим на ней, для функций регулярных в указанной выше области.

Следствие. Если функция регулярна в полуплоскости и окрестности бесконечно удаленной

точки то по теореме 5а интерполяционный процесс будет сходиться равномерно в полуплоскости по любым узлам, лежащим на действительной полуоси в частности, он будет сходиться равномерно и для равноотстоящих узлов рассмотренных в § 4.2.

При доказательстве теоремы о сходимости квадратурного процесса для равноотстоящих узлов нам, как и выше, потребуется равномерная сходимость интерполирования не только в полуплоскости но также и в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки. Для достижения этого предположим, как в § 4.2, что функция регулярна в полуплоскости Кроме того, допустим, что она регулярна в области Тогда равномерная сходимость интерполирования как для равноотстоящих узлов, так и для любых других узлов, лежащих на полуоси будет иметь место не только в полуплоскости но также в более широкой области. Чтобы показать это, перейдем к переменной тогда функция будет регулярна в полуплоскости и в области Узлы интерполирования будут лежать на отрезке [0, 1].

Справедлива

Теорема 6. Если функция регулярна в полуплоскости и в окрестности нулевой точки, то интерполяционный процесс (4.5.3), построенный по узлам или по любым другим узлам, лежащим на отрезке [0, 1], будет сходиться равномерно в области В, являющейся пересечением двух кругов Область В будет наибольшей областью, для которой имеет место равномерная сходимость интерполирования при любой системе узлов из [0, 1].

Доказательство. Эта теорема сразу же следует из теоремы В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева (см. сноску на стр. 77). В ней установлено, что если два замкнутых множества точек плоскости наибольший замкнутый круг, содержащийся в и имеющий центр в точке то множество является

наибольшим множеством, для которого выполняется условие стр. 77).

В нашем случае множество правая полуплоскость и область множество отрезок [0, 1]. Чтобы найти множество В, построим два наибольших замкнутых круга, содержащихся в и с центрами в точках Этими кругами будут Искомым множеством В будет пересечение этих кругов. Теорема доказана.

Таким образом, равномерная сходимость интерполирования будет иметь место не только на контуре интегрирования и внутри его, если но также в более широкой области, в частности в круге где

Если же перейти к переменной то можно сказать, что равномерная сходимость имеет место не только в полуплоскости но и в области где