Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 9.2. Вычислительные формулы, основанные на алгебраическом интерполировании функции f(x)Алгебраическое интерполирование, т. е. интерполирование при помощи целых алгебраических многочленов, успешно применяется для приближения непрерывных и достаточно гладких функций на конечных отрезках. Если же отрезок, на котором надлежит приближать функцию является полуосью или всей осью и функция абсолютно интегрируема там или даже удовлетворяет условию (9.1.4), то алгебраическое интерполирование не может дать хорошего приближения. В основание интерполирования тогда должна быть положена другая система функций, Например система рациональных функций, непрерывных на оси или полуоси и стремящихся к нулю при неограниченном росте 111. На таком интерполировании остановимся ниже. При применении же алгебраического интерполирования мы должны будем разделить полуось или ось на бесконечное множество конечных отрезков и прибегнуть к кусочному, не обязательно даже «сращенному» интерполированию. 9.2.1. Вспомогательные формулы.Изложение начнем с получения простых вспомогательных формул, служащих для вычисления интегралов от функций, содержащих тригонометрические множители. Пусть
Если считать тригонометрические и сравнить действительную и мнимую части, получатся полезные формулы для вычисления интегралов с тригонометрическими множителями:
Равенства (9.2.2 —3) были получены в предположении, что 9.2.2. Построение формул для вычислений.Идея построения интерполяционных правил весьма проста. Для определенности рассмотрим косинус-преобразование (9.1.1). Полуось интегрирования по значениям
Рассмотрим теперь интеграл вида (9.1.1), взяв его не по полуоси
Суммируя такие равенства по всем частичным отрезкам, построим приближенное выражение для косинус-преобразования Фурье:
Каждый из интегралов, стоящих под знаком двойной суммы, может быть вычислен, например, с помощью формулы (9.2.2). Если обозначить
Это представление следующая равномерная относительно и оценка
В этой записи предполагаем, что правая часть неравенства имеет конечное значение. Величина правой части зависит от выбора точек Исследование приближенного представления (9.2.5) для Предположим, что полуось
Погрешность интерполирования
где
Умножим обе части равенства (9.2.8) на
Можно видеть, что при суммировании по всем отрезкам членов с косинусами, то они дадут внеинтегральные слагаемые для косинус-преобразования. Наконец, если в интеграл с погрешностью
где
Если здесь отбросить остаточный член Приведенное выражение для погрешности
Оно отрицательно в области интегрирования Двойной интеграл от ядра вычисляется легко:
Это позволяет оценить
Оценка суммы зависит от свойств второй производной Предположим, что для
В этом случае
Если избраны Полученная оценка может быть заменена более простой, но менее точной. Приводимые ниже неравенства являются очевидными и могут быть получены, если в левом интеграле заменить
Отсюда, если суммировать по значениям
а к средней и последней частям найдем
Построенные неравенства говорят о том, что рассматриваемая сумма является величиной порядка
Представление (9.2.11) для
Но
а так как
для
Она особенно просто применяется в тех случаях, когда Путем, сходным с изложенным, могут быть получены правила, основанные на линейном интерполировании для приближенных синус- и комплексного преобразований Фурье. Ограничимся тем, что приведем только сами правила, опуская все рассуждения, связанные с их получением. Для синус-преобразования (9.1.2) верно следующее представление его через значения функции
Правило приближенного вычисления получится, если в равенстве (9.2.14) отбросить остаточный член Остаточный член
Если для второй производной выполняется неравенство
то
Наконец, для комплексного преобразования (9.2.3) имеет место представление через значения точках
Вычислительное правило получается, если в равенстве (9.2.18) отбросить остаточный член
Если для второй производной
то
II. Правила вычислений, основанные на интерполировании второй степени. Возьмем отрезок
Для получения погрешности интеграла, применив при его записи гасящую функцию Е:
Так как многочлен
Первый член в интерполяционном многочлене, отвечающий узлу
опущен под знаком интеграла, так как Упростим представление погрешности
Умножим обе части равенства (9.2.22) на (см. скан) Чтобы выполнить оценку
Рис. 1. Участок имеет значение
Оно, очевидно, неотрицательно, так как множители
Участок II. Здесь
Участок III. На нем
При каждом фиксированном значении
при
С другой стороны,
последовательно, во всех точках участка
Участок IV. Для него Очевидно,
Участок Ядро имеет такое же выражение, как и для участка IV, с тем различием, что здесь множитель
Участок VI. На нем При каждом фиксированном значении На границе участка К всюду неотрицательно, так как
Поэтому во всех точках участка ядро неотрицательно. Наконец, в указанном выше выражении ядра слагаемое
Из рассмотрения ядра на всех участках следует нужное нам неравенство
Оно дает возможность получить приводимую ниже оценку остаточного члена
Если обратить внимание на то, что
получится оценка
В этой оценке интеграл может быть заменен большей величиной, получаемой следующим способом:
что позволяет заменить (9.2.28) другой, более грубой оценкой, но более удобной, по крайней мере в некоторых случаях, для вычислений:
Для синус-преобразования Фурье сходные формулы для вычислений и оценки погрешности будут иметь такой (кликните для просмотра скана)
III. Правила, основанные на интерполировании третьей степени. Выше были рассмотрены правила, в основе которых лежит линейное и квадратное интерполирование. Они являются аналогами котесовых правил трапеций и парабол. Но можно, очевидно, построить для преобразований Фурье аналоги правил Котеса любых порядков. Чем выше степень точности таких правил, тем более сложными они будут, и сложность их с увеличением степени быстро возрастает. Мы приведем только правила, отвечающие интерполированию третьей степени, являющиеся аналогами «правила трех восьмых» Ньютона — Котеса. Возьмем 4 точки
Умножение этого равенства на
(кликните для просмотра скана)
В равенствах (9.2.33 — 35) коэффициенты
Выше были приведены вычислительные формулы, полученные с помощью интерполирования функции
Явное выражение такого многочлена хорошо известно в теории интерполирования
Если обе части равенства (9.2.37) множить на
Коэффициенты Изложенные общие соображения приведены, чтобы выяснить идеи, на основании которых строятся вычислительные формулы вида (9.2.38). Для вычислений же большее значение имеют частные случаи таких формул, отвечающие нескольким первым значениям степени:
Для получения нужного выражения погрешности
Так как многочлен
Для упрощения записи положим
Умножая (9.2.39) на
где
В представлении
Для оценки
Заметим сначала, что предельные значения ядра на границе квадрата интегрирования
Знак ядра в треугольнике
Рис. 2. Поэтому ядро
В треугольнике
Знак его определяется выражением, находящимся в квадратных скобках. Так как
Поэтому в области Обычными способами разыскания экстремумов функции в замкнутых областях показывается, что ядро достигает своего наибольшего значения в точке
Наконец, легко вычисляется двойной интеграл от ядра:
Указанные выше свойства ядра позволяют получить оценки в случае интерполирования по значениям функции. Если в представлении (9.2.42) для
Если же в интеграле заменить все слагаемые бесконечной суммы их абсолютными значениями, заменить
Аналогичные рассуждения для синус- и комплексного преобразований Фурье дадут следующие их выражения через значения
Значения
V. Правило вычисления, основанное на интерполировании функции с тремя двукратными узлами. Возьмем точки
Для изучения погрешности интерполирования откажемся от интегрального ее представления, которое применяли в предыдущих случаях, ввиду его относительной сложности, и воспользуемся известным выражением
Оно быстрее приведет нас к цели, но даст несколько более грубую оценку, так как точное значение не известно. Если умножить (9.2.50) почленно на
Значения коэффициентов
Отсюда вытекает следующая равномерная относительно и оценка
(кликните для просмотра скана) Параметры 55, 57), имеют следующие значения:
|
1 |
Оглавление
|