§ 9.2. Вычислительные формулы, основанные на алгебраическом интерполировании функции f(x)

Алгебраическое интерполирование, т. е. интерполирование при помощи целых алгебраических многочленов, успешно применяется для приближения непрерывных и достаточно гладких функций на конечных отрезках. Если же отрезок, на котором надлежит приближать функцию

является полуосью или всей осью и функция абсолютно интегрируема там или даже удовлетворяет условию (9.1.4), то алгебраическое интерполирование не может дать хорошего приближения. В основание интерполирования тогда должна быть положена другая система функций, Например система рациональных функций, непрерывных на оси или полуоси и стремящихся к нулю при неограниченном росте 111. На таком интерполировании остановимся ниже. При применении же алгебраического интерполирования мы должны будем разделить полуось или ось на бесконечное множество конечных отрезков и прибегнуть к кусочному, не обязательно даже «сращенному» интерполированию.

9.2.1. Вспомогательные формулы.

Изложение начнем с получения простых вспомогательных формул, служащих для вычисления интегралов от функций, содержащих тригонометрические множители.

Пусть произвольный конечный отревок и алгебраический многочлен степени При помощи -кратного интегрирования по частям легко получается следующее равенство:

Если считать действительным многочленом, заменить показательные функции их выражениями Эйлера через

тригонометрические и сравнить действительную и мнимую части, получатся полезные формулы для вычисления интегралов с тригонометрическими множителями:

Равенства (9.2.2 —3) были получены в предположении, что есть произвольный многочлен с действительными коэффициентами. Но так как равенства верны при произвольных действительных коэффициентах многочлена то они будут верными и для комплексных коэффициентов и, следовательно, для любого комплексного

9.2.2. Построение формул для вычислений.

Идея построения интерполяционных правил весьма проста. Для определенности рассмотрим косинус-преобразование (9.1.1). Полуось интегрирования разделим на конечные отрезки точками Возьмем один из отрезков и интерполируем на нем функцию считая ее достаточно гладкой, при помощи алгебраического многочлена. Изберем, например, интерполирование по значениям функции. Выберем на произвольно расположенных узлов и выполним интерполирование

по значениям с помощью многочлена степени

Рассмотрим теперь интеграл вида (9.1.1), взяв его не по полуоси а по отрезку и заменим в нем функцию интерполирующим многочленом После этого получим приближенное равенство

Суммируя такие равенства по всем частичным отрезкам, построим приближенное выражение для косинус-преобразования Фурье:

Каждый из интегралов, стоящих под знаком двойной суммы, может быть вычислен, например, с помощью формулы (9.2.2).

Если обозначить погрешность интерполирования на отрезке то погрешность равенства (9.2.5) будет иметь следующее значение:

Это представление может быть, по крайней мере в некоторых случаях, использовано для получения оценки погрешности приближенного представления (9.2.5) для Например, из (9.2.6) очевидным образом вытекает

следующая равномерная относительно и оценка

В этой записи предполагаем, что правая часть неравенства имеет конечное значение. Величина правой части зависит от выбора точек чисел узлов интерполирования и свойств функции в частности от наличия у нее производных достаточно высокого порядка и от скорости стремления их к нулю при неограниченном возрастании

Исследование приближенного представления (9.2.5) для в общем виде является сложным и имеет преимущественно теоретическое значение. Ограничимся тем, что рассмотрим представление в нескольких простых частных случаях.

Предположим, что полуось разделена точками на равные отрезки длины Будем, кроме того, считать, что известны значения функции в точках деления: Правила вычислений, основанные на линейном интерполировании. Рассмотрим сначала аналог правила трапеций. Возьмем отрезок и выполним линейное интерполирование функции по двум ее значениям на концах отрезка:

Погрешность интерполирования если имеет непрерывную вторую производную, представима, как известно, в форме

где есть «гасящая функция», служащая для устранения излишних участков интегрирования и определенная равенствами

Умножим обе части равенства (9.2.8) на их и проинтегрируем по отрезку При помощи интегрирования по частям или на основании (9.2.2) легко может быть вычислен интеграл с интерполирующим многочленом:

Можно видеть, что при суммировании по всем отрезкам (если принять во внимание, что при члены с синусами исчезнут. Что же касается

членов с косинусами, то они дадут внеинтегральные слагаемые для косинус-преобразования.

Наконец, если в интеграл с погрешностью вместо переменной интегрирования х ввести переменную положив получим выражение для погрешности в форме двойного интеграла, и после суммирования по отрезкам для будет получено следующее точное представление:

где

Если здесь отбросить остаточный член получится формула приближенного косинус-преобразования по значениям оригинала в равноотстоящих точках.

Приведенное выражение для погрешности формулы позволяет получить ее оценки и указать порядок малости относительно при некоторых предположениях о функции Получим простейшую из таких оценок. Предварительно отметим, что ядро двойного интеграла, стоящее в квадратных скобках, имеет значения

Оно отрицательно в области интегрирования

Двойной интеграл от ядра вычисляется легко:

Это позволяет оценить следующим образом:

Оценка суммы зависит от свойств второй производной Предположим, что для выполняется неравенство

В этом случае

Если избраны значение последней суммы может быть найдено путем вычислений и в некоторых случаях при помощи табулированных функций.

Полученная оценка может быть заменена более простой, но менее точной.

Приводимые ниже неравенства являются очевидными и могут быть получены, если в левом интеграле заменить его наименьшим значением, а в правом — наибольшим значением:

Отсюда, если суммировать по значениям от 1 до и затем добавить к левой части полученных неравенств

а к средней и последней частям найдем

Построенные неравенства говорят о том, что рассматриваемая сумма является величиной порядка при малых Для из найденных неравенств вытекает оценка

Представление (9.2.11) для может служить источником оценок другого вида, которые также могут оказаться полезными в некоторых случаях. Из приведенного выше выражения для ядра двойного интеграла видно, что оно принимает значения, не большие 1/2 по абсолютной величине. Поэтому для верно неравенство

Но

а так как

для получится оценка вида

Она особенно просто применяется в тех случаях, когда есть монотонная или кусочно-монотонная функция с просто определяемыми отрезками ее монотонности.

Путем, сходным с изложенным, могут быть получены правила, основанные на линейном интерполировании

для приближенных синус- и комплексного преобразований Фурье. Ограничимся тем, что приведем только сами правила, опуская все рассуждения, связанные с их получением.

Для синус-преобразования (9.1.2) верно следующее представление его через значения функции в точках

Правило приближенного вычисления получится, если в равенстве (9.2.14) отбросить остаточный член Он является погрешностью метода.

Остаточный член по строению сходен с в (9.2.10) и отличается от него тем, что в его представлении функция заменена на При получении оценок абсолютная величина была заменена единицей. То же можно сделать с функцией при оценке Поэтому для верны оценочные неравенства вида ( именно: Если функция имеет непрерывную вторую производную на достаточно быстро убывающую при то

Если для второй производной выполняется неравенство

то

Наконец, для комплексного преобразования (9.2.3) имеет место представление через значения в равноотстоящих

точках

Вычислительное правило получается, если в равенстве (9.2.18) отбросить остаточный член Последний имеет смысл погрешности правила, и для него из указанного представления вытекают оценки

Если для второй производной верно неравенство

то

II. Правила вычислений, основанные на интерполировании второй степени. Возьмем отрезок длины и интерполируем функцию по ее значениям в точках многочленом второй степени:

Для получения погрешности в необходимом виде воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме

интеграла, применив при его записи гасящую функцию Е:

Так как многочлен интерполируется точно, погрешности интерполирования совпадают. Интегральное же выражение позволяет эту погрешность привести к погрешности интерполирования элементарной функции

Первый член в интерполяционном многочлене, отвечающий узлу

опущен под знаком интеграла, так как при . В последнем члене в квадратных скобках множитель не указан, так как он равен единице при всяких

Упростим представление погрешности для чего введем переменные положив

Умножим обе части равенства (9.2.22) на их, проинтегрируем по отрезку и результат просуммируем почленно по четным значениям После этого получим следующее точное представление косинус-преобразования Фурье через значения функций

(см. скан)

Чтобы выполнить оценку необходимо предварительно ознакомиться с некоторыми свойствами ядра двойного интеграла, которое стоит в квадратных скобках. Областью ицуегрирования является квадрат и его для наших целей удобно разделить на участков прямыми линиями Нумерация этих участков указана на рис. 1. Знаки ядра на границах участков легко определяются по указанному выражению ядра, и они также указаны на рисунке. Знаки же и оценки ядра внутри участков исследуются ниже.

Рис. 1.

Участок Он определяется неравенствами Ядро, которое мы обозначим здесь

имеет значение

Оно, очевидно, неотрицательно, так как множители оба неположительны. Кроме того, ввиду того, что для ядра верны неравенства

Участок II. Здесь Ядро К имеет также выражение (9.2.26), отличие состоит в том, что множитель принимает неотрицательные значения и ядро К, следовательно, будет неположительным. Так как и для ядра справедлива оценка

Участок III. На нем Ядро имеет значение

При каждом фиксированном значении из полуинтервала графиком функции в плоскости с осями будет парабола, обращенная вогнутостью в сторону положительных На границе участка ядро К принимает неположительные значения, так как

при Поэтому во всех точках участка III

С другой стороны,

последовательно, во всех точках участка

Участок IV. Для него

Очевидно,

Участок Здесь

Ядро имеет такое же выражение, как и для участка IV, с тем различием, что здесь множитель отрицателен. Ядро будет неотрицательным и удовлетворять неравенствам

Участок VI. На нем

При каждом фиксированном значении графиком ядра в плоскости является парабола, обращенная выпуклостью в сторону положительных .

На границе участка К всюду неотрицательно, так как

Поэтому во всех точках участка ядро неотрицательно. Наконец, в указанном выше выражении ядра слагаемое неположительно, и, стало быть,

Из рассмотрения ядра на всех участках следует нужное нам неравенство

Оно дает возможность получить приводимую ниже оценку остаточного члена

Если обратить внимание на то, что

получится оценка

В этой оценке интеграл может быть заменен большей величиной, получаемой следующим способом:

что позволяет заменить (9.2.28) другой, более грубой оценкой, но более удобной, по крайней мере в некоторых случаях, для вычислений:

Для синус-преобразования Фурье сходные формулы для вычислений и оценки погрешности будут иметь такой

(кликните для просмотра скана)

III. Правила, основанные на интерполировании третьей степени. Выше были рассмотрены правила, в основе которых лежит линейное и квадратное интерполирование. Они являются аналогами котесовых правил трапеций и парабол. Но можно, очевидно, построить для преобразований Фурье аналоги правил Котеса любых порядков. Чем выше степень точности таких правил, тем более сложными они будут, и сложность их с увеличением степени быстро возрастает. Мы приведем только правила, отвечающие интерполированию третьей степени, являющиеся аналогами «правила трех восьмых» Ньютона — Котеса.

Возьмем 4 точки и выполним интерполирование по ее значениям в этих точках:

Умножение этого равенства на их и интегрирование по отрезку с последующим суммированием по значениям приводит к представлению косинус-преобразования через значения

(кликните для просмотра скана)

В равенствах (9.2.33 — 35) коэффициенты имеют значения:

Выше были приведены вычислительные формулы, полученные с помощью интерполирования функции по значениям, которые она принимает в узлах Можно пытаться увеличить точность вычислений, привлекая к интерполированию не только значения функции но также значения ее производных до некоторого порядка. Интерполирование в этому случае будет с «кратными узлами» или эрмитовского типа. В общем виде оно имеет сложную форму, и для простоты записи остановимся только на случае двойных узлов, когда интерполирование выполняется по значениям и первой производной Будем, как и раньше, считать узлы равноотстоящими: . Возьмем узлов и построим многочлен степени удовлетворяющий условиям

Явное выражение такого многочлена хорошо известно в теории интерполирования и на его получении мы не будем останавливаться. Соответствующее представление функции будет следующим:

Если обе части равенства (9.2.37) множить на их, проинтегрировать по отрезку и результаты суммировать по значениям кратным получится представление косинус-преобразования Фурье через значения вида

Коэффициенты могут быть выражены через ядро преобразования их и коэффициенты интерполирования, остаточный же член представления выражается через их и погрешности на всех отрезках интерполирования

Изложенные общие соображения приведены, чтобы выяснить идеи, на основании которых строятся вычислительные формулы вида (9.2.38). Для вычислений же большее значение имеют частные случаи таких формул, отвечающие нескольким первым значениям Случай интерполирования третьей степени с двумя двукратными узлами. Возьмем отрезок и интерполируем на нем по значениям с помощью многочлена третьей

степени:

Для получения нужного выражения погрешности можно воспользоваться, как и выше, формулой Тейлора

Так как многочлен интерполируется точно, погрешности интерполирования и интегрального члена правой части равенства совпадают. Последнее же приводит нахож дение остатка для к нахождению остатка для функции

Для упрощения записи положим и получим

Умножая (9.2.39) на , интегрируя по отрезку и суммируя результаты по построим представление из которого путем отбрасывания остаточного члена получается вычислительное правило для нахождения по значениям

где

В представлении переменная х заменена на каноническую переменную

Для оценки выясним сначала некоторые свойства ядра двойного интеграла, которое стоит в фигурных скобках. Обозначим его

Заметим сначала, что предельные значения ядра на границе квадрата интегрирования равны нулю (рис. 2). Это сразу же следует из приведенных выражений ядра. Отметим также, что на диагонали квадрата ядро имеет положительные значения:

Знак ядра в треугольнике лежащем выше диагонали определяется знаком билинейного многочлена При любом фиксированном при росте от до многочлен возрастает, начиная от значения

Рис. 2.

Поэтому ядро Кроме того, обычными средствами анализа доказывается, что в ядро достигает своего наибольшего значения в средине диагонали D (1/2, 1/2), при этом

В треугольнике лежащем ниже диагонали ядро есть многочлен от третьей степени:

Знак его определяется выражением, находящимся в квадратных скобках. Так как то

Поэтому в области ядро неотрицательно.

Обычными способами разыскания экстремумов функции в замкнутых областях показывается, что ядро достигает своего наибольшего значения в точке и

Наконец, легко вычисляется двойной интеграл от ядра:

Указанные выше свойства ядра позволяют получить оценки сходные с теми, которые были найдены

в случае интерполирования по значениям функции. Если в представлении (9.2.42) для заменить ядро и превосходящими величинами 1/32 и 1 соответственно, то получим оценку

Если же в интеграле заменить все слагаемые бесконечной суммы их абсолютными значениями, заменить единицей и затем, пользуясь положительностью ядра, применить к интегралу теорему о среднем взвешенном значении, найдем неравенство 00

Аналогичные рассуждения для синус- и комплексного преобразований Фурье дадут следующие их выражения через значения :

Значения указаны в равенствах (9.2.41), кроме того,

V. Правило вычисления, основанное на интерполировании функции с тремя двукратными узлами. Возьмем точки и интерполируем по значениям

Для изучения погрешности интерполирования откажемся от интегрального ее представления, которое применяли в предыдущих случаях, ввиду его относительной сложности, и воспользуемся известным выражением в форме Лагранжа:

Оно быстрее приведет нас к цели, но даст несколько более грубую оценку, так как точное значение не известно.

Если умножить (9.2.50) почленно на их, интегрировать по отрезку и суммировать затем результаты по четным значениям получится следующее выражение для

Значения коэффициентов приведены в конце параграфа, и

Отсюда вытекает следующая равномерная относительно и оценка

(кликните для просмотра скана)

Параметры входящие в равенства (9.2.52,

55, 57), имеют следующие значения: