§ 4.4. Замечания о других интерполяционных методах. Применение отрезка ряда Тейлора

Для вычисления интеграла (4.3.1) выше применялось интерполирование по значениям функции в нескольких точках. Но для той же цели можно воспользоваться интерполированием другого типа, например интерполированием с кратными узлами, интерполированием по значениям функции и производных от нее в разных точках и т. д.

Мы остановимся на случае, когда интерполирование выполняется с одним кратным узлом. Тогда интерполирующий многочлен будет совпадать, как известно, с отрезком ряда Тейлора.

Возвратимся к интерполированию функции регулярной в круге Выберем на отрезке точку Функция будет регулярной в круге с центром I и радиусом, не меньшим За приближенное значение в этом круге примем отрезок ее ряда Тейлора в точке :

Перейдем от переменной х к старой переменной и от функции к функции причем для дальнейшего удобнее перейти от к функции

Подставим последнее выражение в интеграл (4.3.1) и получим следующую формулу для его вычисления;

где

Если разложить по степеням то полученные интегралы будут табличными и интеграл в формуле (4.4.2) может быть вычислен.

В частном случае, когда функция регулярна в бесконечно удаленной точке, она может быть разложена в ряд по отрицательным степеням вида . В этом случае для вычисления интеграла (4.3.1) получится формула

Последний интеграл является табличным: