Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.2.6. Распределение корней многочленов ...В конце предыдущего параграфа мы указали, что для завершения исследования возможности построения квадратурной формулы (5.1.5), точной для многочленов степени В этом пункте рассмотрим данный вопрос для некоторых частных значений Теорема 4. Все корна многочленов
при всех целых Доказательство. Сначала возьмем а) Для того чтобы вещественные части всех корней многочлена
с вещественными коэффициентами были бы одного знака, необходимо и достаточно, чтобы корни многочленов
были бы все вещественные и разделялись. б) Если все корни многочленов Запишем многочлен
Нам необходимо доказать, что вещественные части всех корней многочлена (5.2.16) одного знака. Для этого, на основании только что сформулированных теорем а) и б), достаточно установить справедливость следующих фактов: 1) все корни многочленов
вещественны и разделяются; 2) все корни многочленов
будут вещественны при любых вещественных Из (5.2.7) видно, что многочлен
причем Теперь найдем рекуррентное соотношение для многочленов
где
Тогда многочлен
Рекуррентное соотношение (5.2.17) примет вид
Отсюда и из равенств (5.2.18) и подобных равенств для
Умножим первое и третье равенства соответственно на Я и —Я, а второе и четвертое на
Полученному равенству придадим вид
Последнее равенство есть не что иное, как рекуррентное
где
Случай
или
причем во второй последовательности Эта последовательность многочленов обладает следующими свойствами: 1) Последний многочлен последовательности есть отличная от нуля постоянная, а именно, в первой последовательности это есть 2) Ни при каком значении х два рядом стоящих многочлена последовательности не обращаются в нуль. В самом деле, пусть является корнем 3) Если какой-нибудь из многочленов последовательности обращается в нуль при вещественном значении х, то два соседних с ним многочлена имеют при этом видно, что если
Таким образом, эта последовательность многочленов образует обобщенный ряд Штурма. Из алгебры известно, что если обозначить через и Отсюда на основании теорем а) и б) (см. стр. 106) мы можем сделать вывод, что вещественные части всех корней многочлена Перейдем теперь к параметру
Для дальнейшего нам потребуется следующая известная из анализа теорема. в) Пусть
— многочлен
— многочлен
имеет вид Составляя комбинацию вида (5.2.23) из многочлена
получим многочлен Корни многочлена
Для этого сравним коэффициенты при
Следовательно, многочлен Таким образом, корни многочлена Зная, что корни многочлена Это можно доказать и другим способом. Для многочленов
Известно, что если корни многочлена расположены в некоторой полуплоскости, то все корни его производной расположены в той же полуплоскости. На основании этого из формулы (5.2.26) видно, что если корни многочленов В теореме 4 установлено, что корни многочленов На этом можно закончить исследование свойств ортогональных многочленов, связанных с квадратурной формулой наивысшей степени точности для обращения преобразования Лапласа. Следует заметить, что эти многочлены являются частным случаем так называемых многочленов Бесселя
|
1 |
Оглавление
|