5.2.6. Распределение корней многочленов ...

В конце предыдущего параграфа мы указали, что для завершения исследования возможности построения квадратурной формулы (5.1.5), точной для многочленов степени от необходимо показать, что корни многочленов или корни многочленов отличающихся от только постоянным множителем, лежат в правой полуплоскости при всех

В этом пункте рассмотрим данный вопрос для некоторых частных значений Докажем следующую теорему.

Теорема 4. Все корна многочленов

при всех целых лежат в правой полуплоскости, т. е. вещественные части всех корней положительны.

Доказательство. Сначала возьмем При доказательстве будем пользоваться некоторыми теоремами, известными из алгебры. Напомним их:

а) Для того чтобы вещественные части всех корней многочлена

с вещественными коэффициентами были бы одного знака, необходимо и достаточно, чтобы корни многочленов

были бы все вещественные и разделялись.

б) Если все корни многочленов вещественны при любых вещественных то корни многочленов вещественны и разделяются.

Запишем многочлен в виде

Нам необходимо доказать, что вещественные части всех корней многочлена (5.2.16) одного знака. Для этого, на основании только что сформулированных теорем а) и б), достаточно установить справедливость следующих фактов:

1) все корни многочленов

вещественны и разделяются;

2) все корни многочленов

будут вещественны при любых вещественных .

Из (5.2.7) видно, что многочлен удовлетворяет рекуррентному соотношению

причем

Теперь найдем рекуррентное соотношение для многочленов Запишем многочлен в виде

где

Тогда многочлен можно записать следующим образом:

Рекуррентное соотношение (5.2.17) примет вид

Отсюда и из равенств (5.2.18) и подобных равенств для получаем

Умножим первое и третье равенства соответственно на Я и —Я, а второе и четвертое на и сложим их:

Полученному равенству придадим вид

Последнее равенство есть не что иное, как рекуррентное соотношение для а именно:

где

Случай тривиален, и его из рассмотрения исключаем. Таким образом, получаем последовательность многочленов

или

причем во второй последовательности будет многочленом степени

Эта последовательность многочленов обладает следующими свойствами:

1) Последний многочлен последовательности есть отличная от нуля постоянная, а именно, в первой последовательности это есть , во второй

2) Ни при каком значении х два рядом стоящих многочлена последовательности не обращаются в нуль.

В самом деле, пусть является корнем тогда ввиду будет корнем и многочлена Рассуждая так дальше, мы пришли бы в конце концов к тому, что этот общий корень был бы корнем и многочлена в последовательности (5.2.20) или в последовательности (5.2.21), что невозможно, так как эти многочлены есть отличные от нуля постоянные.

3) Если какой-нибудь из многочленов последовательности обращается в нуль при вещественном значении х, то два соседних с ним многочлена имеют при этом значения разных знаков. Действительно, из формулы (5.2.19)

видно, что если то

Таким образом, эта последовательность многочленов образует обобщенный ряд Штурма. Из алгебры известно, что если обозначить через и число перемен знака в ряду этих многочленов при заданном значении х, а через число вещественных корней многочлена то будем иметь А так как последовательность содержит многочлены всех степеней с коэффициентами при старших членах одного и того же знака, то и в последовательности (5.2.20) в последовательности (5.2.21). Следовательно, все корни многочлена не только вещественны при любых вещественных Яиц, но, кроме того, просты и корни взаимно разделяются с корнями

Отсюда на основании теорем а) и б) (см. стр. 106) мы можем сделать вывод, что вещественные части всех корней многочлена одного знака. Этот знак может быть только плюсом, так как коэффициент при отрицательный. Таким образом, доказано, что все корни многочлена при лежат в правой полуплоскости.

Перейдем теперь к параметру Из явного выражения (5.2.1) для многочленов видно, что многочлен можно получить из многочлена если коэффициенты последнего умножить на Пусть для многочлен имеет вид (5.2.16), тогда для многочлен имеет следующий вид:

Для дальнейшего нам потребуется следующая известная из анализа теорема.

в) Пусть

— многочлен степени, все нули которого лежат в «круге» далее,

— многочлен степени с нулями Тогда каждый нуль у многочлена составленного из

имеет вид где индекс некоторая точка в К.

Составляя комбинацию вида (5.2.23) из многочлена и многочлена

получим многочлен

Корни многочлена лежат, как уже доказано, в правой полуплоскости. Определим теперь корни многочлена Докажем, что имеет вид

Для этого сравним коэффициенты при в выражениях (5.2.24) и (5.2.25) для многочлена Коэффициент при в выражении (5.2.24) равен Вычислим коэффициент при в выражении (5.2.25):

Следовательно, многочлен действительно имеет вид (5.2.25). Из (5.2.25) сразу видно, что все корни многочлена отрицательны: корень кратности

Таким образом, корни многочлена лежат в правой полуплоскости, а корни отрицательны. На основании теоремы в) корни многочлена являющегося комбинацией и также будут лежать в правой полуплоскости.

Зная, что корни многочлена имеют положительные вещественные части, совершенно аналогично можно доказать, что корни многочлена тоже имеют положительные вещественные части, и т. д.

Это можно доказать и другим способом. Для многочленов имеет место интегральное представление (5.2.10). Продифференцируем указанное равенство по получим

Известно, что если корни многочлена расположены в некоторой полуплоскости, то все корни его производной

расположены в той же полуплоскости. На основании этого из формулы (5.2.26) видно, что если корни многочленов при расположены в правой полуплоскости, то корни всех многочленов при целых больших 2, тоже расположены в правой полуплоскости. Теорема 4 доказана.

В теореме 4 установлено, что корни многочленов имеют положительные вещественные части при всех целых Для других положительных значений параметра в частности для положительных рациональных, этот вопрос остается открытым. Однако в тех вычислениях (см. [8]), которые были проведены для корни всегда лежали в правой полуплоскости, причем их действительные части росли вместе с ростом

На этом можно закончить исследование свойств ортогональных многочленов, связанных с квадратурной формулой наивысшей степени точности для обращения преобразования Лапласа.

Следует заметить, что эти многочлены являются частным случаем так называемых многочленов Бесселя при которые были исследованы в работах Г. Крола и О. Фринка, В. А. Аль-Салама.