Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ§ 3.1. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежуткеВ этой главе будет построено несколько методов, дающих в большинстве случаев лишь принципиальную возможность выполнить обращение преобразования Лапласа при помощи рядов. Коэффициенты таких рядов могут быть найдены из бесконечных систем уравнений с треугольными матрицами, решаемых последовательно, или иными равносильными способами. Эти системы неустойчивы относительно роста погрешностей. Задачи оценки погрешностей и выяснения условий сходимости реальных вычислительных процессов еще не исследованы. 3.1.1. Постановка задачи.Задачу обращения преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби. Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов. Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В. М. Амербаева и в книге В. А. Диткина и А. П. Прудникова [4]. Пусть известно преобразование Лапласа
где
Требуется по изображению В интеграле (3.1.1) введем замену переменной
где
В силу условий, которые наложены на функции
После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию
такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции
Если такой многочлен существует, то изображения функций Замечание. Если
где Для системы функций
где Определитель Грама всегда равен нулю или больше нуля. Он равен нулю тогда и только тогда, когда векторы А теперь покажем, чтоусловия (3.1.5) однозначно определяют многочлен Отметим еще одно свойство многочлена
В самом деле, запишем систему, полученную из условий минимальности функционала (3.1.6):
или
Последняя система совпадает с системой (3.1.5), следовательно, на многочлене Пусть
тогда
Второе слагаемое правой части (3.1.7) равно нулю в силу условия (3.1.5). Так как
что и доказывает наше утверждение. Обратим внимание на связь установленных результатов с рядами по ортогональным многочленам. Обозначим
Возьмем конечную сумму
Это есть многочлен степени не выше Можно легко указать экстремальное свойство такого приближения. Возьмем произвольные многочлены
Вычислим среднее квадратичное отклонение
От выбора многочлена
Из (3.1.8), в частности, следует, что
и сходимость
Условия возможности такого разложения во многих случаях известны, и, пользуясь ими, можно получить условия, при которых оригинал
|
1 |
Оглавление
|