ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

§ 3.1. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке

В этой главе будет построено несколько методов, дающих в большинстве случаев лишь принципиальную возможность выполнить обращение преобразования Лапласа при помощи рядов. Коэффициенты таких рядов могут быть найдены из бесконечных систем уравнений с треугольными матрицами, решаемых последовательно, или иными равносильными способами.

Эти системы неустойчивы относительно роста погрешностей. Задачи оценки погрешностей и выяснения условий сходимости реальных вычислительных процессов еще не исследованы.

3.1.1. Постановка задачи.

Задачу обращения преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби. Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.

Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В. М. Амербаева и в книге В. А. Диткина и А. П. Прудникова [4].

Пусть известно преобразование Лапласа функции

где искомая функция, а - неотрицательная, абсолютно интегрируемая на функция. Предположим, что функция интегрируема на любом конечном отрезке и принадлежит классу

Требуется по изображению функции построить функцию

В интеграле (3.1.1) введем замену переменной тогда он приведется к виду

где

В силу условий, которые наложены на функции и интеграл (3.1.3) сходится всюду в полуплоскости поэтому переменной можно придать значения и получить «взвешенные моменты» функции

После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию по ее «взвешенным моментам» или, что то же самое, найти функцию по значениям изображения функции в целочисленных точках . В частном случае эту задачу можно упростить и по первым «взвешенным моментам» искать многочлен

такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции т. е. чтобы выполнялись равенства

Если такой многочлен существует, то изображения функций совпадают в точках можно считать некоторым приближением к

Замечание. Если система векторов евклидова пространства, то определителем рама для этой системы называется определитель

где скалярное произведение векторов

Для системы функций для которой скалярное произведение определяется как определителем Грама называется определитель

где функции от

Определитель Грама всегда равен нулю или больше нуля. Он равен нулю тогда и только тогда, когда векторы или функции линейно зависимы.

А теперь покажем, чтоусловия (3.1.5) однозначно определяют многочлен В самом деле, равенства (3.1.5) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами многочлена Определитель этой системы является определителем рама функций и в силу того, что они линейно независимы, определитель отличен от нуля. А отсюда следует, что система (3.1.5) имеет решение и притом единственное. Значит, многочлен существует и условия (3.1.5) определяют его единственным образом.

Отметим еще одно свойство многочлена А именно, в классе многочленов степени не выше многочлен определяемый условиями (3.1.5), доставляет абсолютный минимум следующему функционалу:

В самом деле, запишем систему, полученную из условий минимальности функционала (3.1.6):

или

Последняя система совпадает с системой (3.1.5), следовательно, на многочлене функционал (3.1.6) имеет стационарное значение. Покажем, что доставляет абсолютный минимум функционалу (3.1.6) в классе многочленов степени не выше

Пусть произвольный многочлен степени не выше причем Представим в виде

тогда

Второе слагаемое правой части (3.1.7) равно нулю в силу условия (3.1.5). Так как не совпадает тождественно с не является, следовательно, тождественным нулем, последний член в (3.1.7) будет положительным и будет верно неравенство

что и доказывает наше утверждение.

Обратим внимание на связь установленных результатов с рядами по ортогональным многочленам. Обозначим систему многочленов, ортонормальных на [0, 1] по весу со и рассмотрим соответствующий им обобщенный ряд Фурье для

Возьмем конечную сумму членов ряда

Это есть многочлен степени не выше и его можно рассматривать как некоторое приближение к функции

Можно легко указать экстремальное свойство такого приближения. Возьмем произвольные многочлены степени и среди таких многочленов найдем тот, который наименее уклоняется от в смысле среднего квадратичного. Мы уже знаем, что таким многочленом является теперь покажем, что совпадает с Многочлен можно разложить по многочленам

Вычислим среднее квадратичное отклонение от

От выбора многочлена в полученном равенстве зависит только последняя сумма, слагаемые которой все неотрицательные; поэтому достигнет минимума в том и только в том случае, когда Последнее означает, что многочлен доставляющий наименьшее значение должен совпадать с

Из (3.1.8), в частности, следует, что

и сходимость равносильна возможности разложения функции в ряд по ортогональным многочленам

Условия возможности такого разложения во многих случаях известны, и, пользуясь ими, можно получить условия, при которых оригинал может быть найден как предел последовательности приближений Теперь рассмотрим некоторые частные случаи весовой функции