Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 9.3.4. Интерполяционные правила вычислений, связанные с корнями ортогональных многочленов.Сходимость интерполяционного квадратурного процесса с равноотстоящими узлами (9.3.23) для очень узкого класса функций побудила строить другие правила вычислений, более благоприятные в отношении области сходимости и достаточно, несложные в смысле вычислений. Можно стремиться также к тому, чтобы они позволяли воспользоваться имеющимися числовыми таблицами. Такое построение может быть выполнено несколькими путями, два из которых будут указаны в настоящем пункте и третий — в § 10.2. При выборе вычислительного правила, если стремиться сохранить его интерполяционно-квадратурный тип, необходимо было считаться с известными результатами по теории интерполирования и теории квадратур. Выбор можно сделать на основе двух следующих соображений, первое из которых уже встречалось читателю в гл. 4. I. При интерполировании на конечном отрезке, например на
которые имеют предельную плотность распределения Чебышева
Например, интерполяционный процесс с такой таблицей будет сходиться равномерно на отрезке Наиболее изученными таблицами такого рода являются таблицы корней ортогональных многочленов. Большое значение для приложений имеют многочлены Якоби, отвечающие весовой функции
позволяющей учитывать степенные особенности на концах отрезка В теории интерполирования доказывается также, что такой интерполяционный процесс будет, как упоминалось выше, равномерно сходиться к II. В теории приближенных квадратур известно, что при вычислении интеграла с весовой функцией можно в вычислительной формуле
значительно увеличить алгебраическую степень точности, если специальным образом вычислять узлы
Последнее означает, что правило квадратур (9.3.27) должно быть интерполяционным. Отметим также, что формула (9.3.27) сходится в очень широком множестве функций: если отрезок
достаточно, чтобы
Функцию степени Чтобы преобразовать (9.3.28) к интегралу с классической весовой функцией, заменим переменную х, положив
Степенной множитель
После этого интеграл (9.3.29) может быть вычислен по правилу интегрирования с весом Якоби:
Здесь Так как
Изложенный сейчас способ вычисления есть, очевидно, не что иное, как перенесение на интеграл (9.3.29) идеи интегрирования наивысшей степени точности с весом Якоби, при этом здесь вес учитывает лишь скорость убывания Напомним, что правило наивысшей степени точности (9.3.30) предполагает у интегрируемой функции Множитель Сохраним в формуле (9.3.30) узлы оставим их согласованными со скоростью стремления Отнесем колеблющийся множитель
Интерполируем теперь
Здесь Если внести в (9.3.29) вместо
Оно, после отбрасывания При построении интерполяционных квадратурных правил их узлы, принципиально говоря, можно выбирать произвольно или пользоваться этим произволом для достижения каких-либо частных целей. В правиле (9.3.32) сделана попытка согласовать этот выбор с характером убывания Приведем еще один пример выбора узлов Возьмем произвольный многочлен Якоби Интерполяционная формула будет иметь тот же вид (9.3.31), что и выше, но с другим смыслом
Последующие вычисления не нуждаются в пояснениях: (см. скан) Подстановка в интеграл (9.3.29) вместо функции
Коэффициент
Такое разложение может быть построено по обычным алгебраическим правилам. Если внести это разложение в (9.3.35), вычисление
После возвращения к переменной х равенства (9.3.35 — 36) будут следующими:
где Если
то после почленного интегрирования представление
О вычислении интегралов, стоящих справа, будет сказано в следующем пункте, сейчас же в нескольких строках скажем о выборе параметров В принятых предположениях Несколько меньшее, но все же большое значение имеет случай, когда за узлы интерполирования принимаются корни многочлена Лежандра степени
|
1 |
Оглавление
|