9.3.4. Интерполяционные правила вычислений, связанные с корнями ортогональных многочленов.

Сходимость интерполяционного квадратурного процесса с равноотстоящими узлами (9.3.23) для очень узкого класса функций побудила строить другие правила вычислений, более благоприятные в отношении области сходимости и достаточно, несложные в смысле вычислений. Можно стремиться также к тому, чтобы они позволяли воспользоваться имеющимися числовыми таблицами. Такое построение может быть выполнено несколькими путями, два из которых будут указаны в настоящем пункте и третий — в § 10.2.

При выборе вычислительного правила, если стремиться сохранить его интерполяционно-квадратурный тип, необходимо было считаться с известными результатами по теории интерполирования и теории квадратур. Выбор можно сделать на основе двух следующих соображений, первое из которых уже встречалось читателю в гл. 4.

I. При интерполировании на конечном отрезке, например на особенно благоприятными относительно сходимости являются такие таблицы узлов:

которые имеют предельную плотность распределения Чебышева

Например, интерполяционный процесс с такой таблицей будет сходиться равномерно на отрезке для любой функции, аналитической на включая и его концы —1 и 1.

Наиболее изученными таблицами такого рода являются таблицы корней ортогональных многочленов. Большое значение для приложений имеют многочлены Якоби, отвечающие весовой функции

позволяющей учитывать степенные особенности на концах отрезка Среди них особенно важную роль в задаче интерполирования играют многочлены Чебышева первого рода. Интерполяционный процесс, в котором за узлы принимаются корни такого многочлена степени сходится равномерно на для всякой функции модуль непрерывности которой удовлетворяет условию

В теории интерполирования доказывается также, что такой интерполяционный процесс будет, как упоминалось выше, равномерно сходиться к если есть абсолютно непрерывная на функция.

II. В теории приближенных квадратур известно, что при вычислении интеграла с весовой функцией можно

в вычислительной формуле

значительно увеличить алгебраическую степень точности, если специальным образом вычислять узлы в формуле и коэффициенты а именно доказывается, что если весовая функция знакопостоянна, то при помощи выбора равенство (9.3.27) можно сделать выполняющимся точно, когда есть произвольный многочлен степени при этом определяются единственным образом: должны быть корнями многочлена степени из ортогональной системы многочленов, отвечающей весу и

Последнее означает, что правило квадратур (9.3.27) должно быть интерполяционным.

Отметим также, что формула (9.3.27) сходится в очень широком множестве функций: если отрезок конечный, весовая функция знакопостоянна на нем и не эквивалентна нулю, то для сходимости

достаточно, чтобы была ограниченной и множество точек разрыва ее имело меру нуль. Обратимся к интегралу и возьмем его в форме

Функцию будем, как и выше, считать непрерывной и достаточно гладкой на замкнутой полуоси Множитель имеет единственную особенность — нуль

степени в бесконечно удаленной точке. Его мы присоединим ниже к весовой функции. Величина их их определяет колебания подынтегрального выражения. Она комплексная, и ее действительная и мнимая части знакопеременны. Все это затрудняет возможность отнести к весу обычным путем, без предварительного преобразования, и затем, при построении правила квадратур, стремиться к достижению наивысшей возможной степени алгебраической точности. Что можно сделать в этом направлении, будет видно в следующем параграфе, сейчас же этот множитель мы отнесем на некоторое время к интегрируемой функции.

Чтобы преобразовать (9.3.28) к интегралу с классической весовой функцией, заменим переменную х, положив Полуось перейдет в отрезок и интеграл примет форму

Степенной множитель может быть принят за весовую функцию Она является частным случаем веса Якоби Для Оставшуюся же часть подынтегрального выражения примем за интегрируемую функцию

После этого интеграл (9.3.29) может быть вычислен по правилу интегрирования с весом Якоби:

Здесь корни многочлена Якоби степени соответствующие этим корням квадратурные коэффициенты. Численные значения могут быть взяты из опубликованных таблиц.

Так как предполагается непрерывной на полуоси и показательный множитель ограничен по модулю единицеи и непрерывен при функция будет ограничена и непрерывна при Поэтому при неограниченном росте для всякого значения и будет иметь место сходимость вычислительного процесса (9.3.30):

Изложенный сейчас способ вычисления есть, очевидно, не что иное, как перенесение на интеграл (9.3.29) идеи интегрирования наивысшей степени точности с весом Якоби, при этом здесь вес учитывает лишь скорость убывания удалении на бесконечность. Об этом способе мы говорим, чтобы указать на его существенный недостаток для вычисления и пояснить возможный путь ослабления этого недостатка.

Напомним, что правило наивысшей степени точности (9.3.30) предполагает у интегрируемой функции наличие на замкнутом отрезке интегрирования непрерывной производной порядка не ниже принимающей небольшие значения. При соблюдении этого условия можно рассчитывать на получение хорошей точности. Если же такая производная отсутствует, правило может не дать высокой точности и будет уступать в этом отношении другим правилам, обладающим меньшей степенью точности.

Множитель мы предполагали достаточно гладким; что же касается второго множителя то его колебания при неограниченно ускоряются и точка является точкой разрыва для него. Поэтому вблизи будет неточно приближаться алгебраическими многочленами, и хотя правило (9.3.30), принципиально говоря, дает возможность вычислить сколь угодно точно, но для достижения заданной точности может потребовать большого значения

Сохраним в формуле (9.3.30) узлы считая их корнями многочлена Этим мы в какой-то степени

оставим их согласованными со скоростью стремления к нулю при . Что же касается коэффициентов то выберем их, не стремясь к достижению наивысшей степени точности, а учитывая колебания функции

Отнесем колеблющийся множитель к весу и положим

Интерполируем теперь по значениям в узлах

Здесь коэффициент при старшей степени в многочлене

Если внести в (9.3.29) вместо их значения, получим следующее выражение через значения

Оно, после отбрасывания дает приближенное расчетное правило для

При построении интерполяционных квадратурных правил их узлы, принципиально говоря, можно выбирать

произвольно или пользоваться этим произволом для достижения каких-либо частных целей. В правиле (9.3.32) сделана попытка согласовать этот выбор с характером убывания при возрастании х.

Приведем еще один пример выбора узлов но начнем изложение с общих соображений. В интеграле (9.3.29) за весовую функцию примем и за интегрируемую функцию

Возьмем произвольный многочлен Якоби степени с индексами Корни его, которые обозначим по-прежнему примем за узлы интерполирования функции не заботясь временно о подыскании наилучших узлов или, если говорить точнее, наиболее подходящих значений

Интерполяционная формула будет иметь тот же вид (9.3.31), что и выше, но с другим смыслом

есть коэффициент при в многочлене Для получения необходимых расчетных формул возвратимся к прежней переменной положив Значения х, отвечающие обозначим

Последующие вычисления не нуждаются в пояснениях:

(см. скан)

Подстановка в интеграл (9.3.29) вместо функции ее интерполяционного представления (9.3.33) приведет к следующему равенству для

Коэффициент является многочленом степени от Разложим его по степеням двучлена

Такое разложение может быть построено по обычным алгебраическим правилам. Если внести это разложение

в (9.3.35), вычисление будет приведено к нахождению нескольких простых интегралов, зависящих от и

После возвращения к переменной х равенства (9.3.35 — 36) будут следующими:

где

Если разложить по степеням

то после почленного интегрирования представление примет вид

О вычислении интегралов, стоящих справа, будет сказано в следующем пункте, сейчас же в нескольких строках скажем о выборе параметров веса Якоби. В противоположность формуле (9.3.30), когда выбор узлов был согласован с характером убывания свое внимание уделим сейчас интерполированию

В принятых предположениях может быть произвольной непрерывной и достаточно гладкой на функцией. Поэтому в первую очередь должны быть рассмотрены многочлены Чебышева первого рода и корни многочлена степени приняты за узлы интерполирования. Многочлены являются частным случаем многочленов Якоби при Таблица значений коэффициентов в (9.3.38) для узлов Чебышева приведена в книге [7] (табл. IV).

Несколько меньшее, но все же большое значение имеет случай, когда за узлы интерполирования принимаются

корни многочлена Лежандра степени Значение выбора таких узлов связано с тем, что интерполяционные квадратурные формулы с этими узлами имеют наивысшую степень точности при постоянной весовой функции и являются весьма полезными при интегрировании функций без особенностей. Таблица коэффициентов для таких узлов приведена в той же книге [7] (табл. III).