Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 10.2. Построение формулы наивысшей степени точностиТакие формулы могут иметь различный вид в зависимости в первую очередь от того, какими свойствами обладает подынтегральное выражение и как в связи с ними выбирается весовая функция. Мы будем говорить об одном из правил, которое рассчитано на множество функций Примем за вес множитель В соответствии с избранным весом рассмотрим интеграл
Параметры
где
Задача разыскания Все интегралы, участвующие в последующих рассуждениях, предполагаются абсолютно сходящимися. Пусть рассматривается интеграл по конечному или бесконечному отрезку
Для того чтобы формула (10.2.3) была точной для всех многочленов степени 1) коэффициенты
т. е. правило интегрирования (10.2.3) является интерполяционным; 2) многочлен со
В необходимости этих условий можно убедиться весьма просто. Пусть равенство (10.2.3) верно для всех многочленов степени не выше
что доказывает (10.2.4). Чтобы убедиться в необходимости второго условия, возьмем многочлен Достаточность условий проверяется столь же просто. Пусть условия 1), 2) выполняются. Возьмем произвольный многочлен
Первый из интегралов правой части равенства равен нулю по условию ортогональности. Так как по первому условию правило (10.2.3) является интерполяционным, оно точно для всякого многочлена степени
Поэтому
и равенство (10.2.3) выполняется точно для Можно просто показать, что правило (10.2.3) не может быть верным для всех многочленов степени Значит, равенство (10.2.3) не может быть точным для Отсюда следует, что если степень точности
Условие (10.2.5) равносильно выполнению следующих
Если сюда подставить вместо
Для проверки разрешимости системы и единственности ее решения достаточно установить, что однородная система
имеет только нулевое решение. Будем считать, что
Так как весовая функция По коэффициентам Этот результат можно дополнить доказательством того, что корни В интеграле (10.2.2) отрезок интегрирования
Его коэффициенты
Коэффициенты интеграла
должны быть найдены при помощи формулы вида (10.2.4). Коэффициенты же
как это видно из (10.2.2), отличаются от
Таблицу значений Аналогичная таблица
при тех же параметрах Сделаем еще краткое замечание о сходимости при Возьмем интеграл II (см. (10.1.5)) в форме, получающейся при замене функции В соответствии с этим будем рассматривать правило, равносильное (10.2.1):
При построении (10.2.1) параметры
Заменим переменную х, положив
Равенство выполняется точно всякий раз, когда Отсюда следует, что (10.2.11) есть квадратурное правило наивысшей алгебраической степени точности для отрезка [0, 1] и весовой функции
Относительно таких правил известно, что при ство точек разрыва ее имеет меру нуль, в частности для всякой функции Это дает возможность высказать теорему о сходимости при Теорема 1. Если функция Аналогичная теорема верна для квадратурного правила наивысшей степени точности (10.2.9) для синус-преобразования Фурье.
|
1 |
Оглавление
|