§ 10.2. Построение формулы наивысшей степени точности

Такие формулы могут иметь различный вид в зависимости в первую очередь от того, какими свойствами обладает подынтегральное выражение и как в связи с ними выбирается весовая функция. Мы будем говорить об одном из правил, которое рассчитано на множество функций представимых в форме (10.1.4).

Примем за вес множитель Он учитывает колебания подынтегральной функции в (10.1.3), но не связан с характером убывания при Это последнее обстоятельство будет нами учтено при выборе системы функций, относительно которой будет достигаться наивысшая степень точности.

В соответствии с избранным весом рассмотрим интеграл (см. (10.1.5)) и построим для него правило вычислений вида

Параметры выберем так, чтобы равенство точно выполнялось для функций или, что равносильно, для всех функций вида

где произвольный многочлен от х степени

Задача разыскания а следовательно, и параметров привелась к классической проблеме построения на полуинтервале квадратурной формулы наивысшей алгебраической степени точности с положительной весовой функцией

Все интегралы, участвующие в последующих рассуждениях, предполагаются абсолютно сходящимися. Пусть рассматривается интеграл по конечному или бесконечному отрезку и весовая функция является знакопостоянной и не эквивалентной нулю. Допустим, что для вычисления интеграла применяется формула

Для того чтобы формула (10.2.3) была точной для всех многочленов степени необходимо и достаточно выполнение условий:

1) коэффициенты имеют значения

т. е. правило интегрирования (10.2.3) является интерполяционным;

2) многочлен со ортогонален на с весом ко всякому многочлену степени не выше :

В необходимости этих условий можно убедиться весьма просто. Пусть равенство (10.2.3) верно для всех

многочленов степени не выше Рассмотрим многочлен со Он имеет степень и для него равенство должно быть точным. Но обладает следующими свойствами: при Поэтому из (10.2.3) для должно получиться равенство

что доказывает (10.2.4).

Чтобы убедиться в необходимости второго условия, возьмем многочлен степень которого не выше Многочлен будет иметь степень не больше и для него равенство (10.2.3) должно быть точным, а так как то (10.2.3) совпадает с (10.2.5).

Достаточность условий проверяется столь же просто. Пусть условия 1), 2) выполняются. Возьмем произвольный многочлен степени Разделив его по обычным правилам алгебры на можно представить в виде где и многочлены степени не выше Ввиду имеем следовательно,

Первый из интегралов правой части равенства равен нулю по условию ортогональности. Так как по первому условию правило (10.2.3) является интерполяционным, оно точно для всякого многочлена степени в частности для так что

Поэтому

и равенство (10.2.3) выполняется точно для

Можно просто показать, что правило (10.2.3) не может быть верным для всех многочленов степени Для этого достаточно указать хотя бы один многочлен такой степени, для которого (10.2.3) не может быть точным. Рассмотрим Это — многочлен степени Левая часть равенства (10.2.3) для него, по причине знакопостоянства веса отлична от нуля, тогда как правая часть равна нулю, ввиду того что при

Значит, равенство (10.2.3) не может быть точным для

Отсюда следует, что если степень точности достижима в равенстве (10.2.3), то она является наивысшей. Для доказательства же достижимости достаточно установить существование многочлена удовлетворяющего требованию ортогональности (10.2.5). Будем искать такой многочлен в форме разложения по степеням

Условие (10.2.5) равносильно выполнению следующих равенств:

Если сюда подставить вместо его разложение по степеням х и для сокращения записи обозначить то получится система уравнений для нахождения коэффициентов

Для проверки разрешимости системы и единственности ее решения достаточно установить, что однородная система

имеет только нулевое решение. Будем считать, что удовлетворяют уравнениям системы. Умножив уравнения соответственно на и сложив их, получим равенство

Так как весовая функция не эквивалентна нулю и сохраняет знак, последнее равенство возможно только в том случае, когда многочлен, стоящий в скобках, будет тождественным нулем, что возможно лишь при , и однородная система, стало быть, имеет только нулевое решение.

По коэффициентам можно построить многочлен а находя его корни и вычисляя коэффициенты при помощи равенств (10.2.4), построим правило (10.2.3), точное для многочленов степени Из изложения видно, что такое правило будет единственным, так как многочлен и коэффициенты определяются однозначно.

Этот результат можно дополнить доказательством того, что корни многочлена все различны между собой и все лежат внутри отрезка интегрирования

В интеграле (10.2.2) отрезок интегрирования есть полуось и весовая функция есть она положительна всюду, кроме точек Многочлен со определяется условием ортогональности

Его коэффициенты могут быть найдены из системы

Коэффициенты участвующие в (10.2.2) и квадратурном правиле вида (10.2.3), если его записать для

интеграла

должны быть найдены при помощи формулы вида (10.2.4). Коэффициенты же формулы (10.2.1), когда она точна для всех функций вида

как это видно из (10.2.2), отличаются от множителем и для них получатся следующие значения:

Таблицу значений для (10.2.1) при можно найти в книге [71 (табл. VI).

Аналогичная таблица для формулы наивысшей степени точности

при тех же параметрах находится в той же книге [7] (табл. V).

Сделаем еще краткое замечание о сходимости при вычислительных процессов наивысшей степени точности (10.2.1) и (10.2.9). Для определенности будем иметь в виду (10.2.1). Для наших целей достаточно привести (10.2.1) к известному правилу типа Гаусса, в котором достигается наивысшая алгебраическая степень точности, и затем воспользоваться известными теоремами о сходимости квадратурного процесса этого вида.

Возьмем интеграл II (см. (10.1.5)) в форме, получающейся при замене функции ее представлением

В соответствии с этим будем рассматривать правило, равносильное (10.2.1):

При построении (10.2.1) параметры выбирались так, что равенство выполнялось точно, когда была любой функцией вида Для правила (10.2.10) это эквивалентно тому, что оно дает точный результат для функции вида

Заменим переменную х, положив При этом (10.2.10) перейдет в новое правило для конечного отрезка [0, 1]:

Равенство выполняется точно всякий раз, когда есть многочлен степени от

Отсюда следует, что (10.2.11) есть квадратурное правило наивысшей алгебраической степени точности для отрезка [0, 1] и весовой функции

Относительно таких правил известно, что при последовательность приближенных значений сходится к точному значению интеграла для всякой функции , ограниченной на [0, 1] и такой, что

ство точек разрыва ее имеет меру нуль, в частности для всякой функции ограниченной на [0, 1] и непрерывной внутри этого отрезка.

Это дает возможность высказать теорему о сходимости при квадратурного процесса (10.2.1).

Теорема 1. Если функция представима в виде (10.1.4), где непрерывна на полуоси Охоо, то квадратурный процесс, определяемый правилом наивысшей степени точности (10.2.1), сходится при к точному значению интеграла.

Аналогичная теорема верна для квадратурного правила наивысшей степени точности (10.2.9) для синус-преобразования Фурье.