ГЛАВА 10. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ, ИМЕЮЩИЕ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ

§ 10.1. Введение

Задачи о построении формул наивысшей степени точности для косинус- и синус-преобразований Фурье изучаются сходным путем, но имеют различные решения.

Будем считать оригинал представимым в виде где и функция непрерывна на полуоси Одгоо.

Рассмотрим косинус-преобразование Фурье

Множитель их примем за весовую функцию и будем строить для вычисления интеграла квадратурную формулу вида

Она имеет параметров и их можно пытаться выбрать так, чтобы равенство (10.1.1) выполнялось точно, когда есть произвольный многочлен от степени или, что равносильно, для простых дробей выполнялись соотношения

Эти равенства образуют систему уравнений для нахождения параметров, линейную относительно и

нелинейную относительно Если ее решить, то уже при небольших значениях окажется, что узлы будут лежать вне полуоси интегрирования

Причиной такого недостатка является знакопеременность весовой функции их, и, чтобы освободиться от него, достаточно сделать весовую функцию знакопостоянной.

В изучаемой задаче это может быть выполнено при помощи элементарного преобразования:

Интеграл имеет простую форму и преобразованием приводится к интегралу с весовой функцией Якоби с параметрами :

Он может быть вычислен при помощи формул наивысшей алгебраической степени точности, коэффициенты и узлы которых табулированы в достаточно широких границах.

Сосредоточим свое внимание на интеграле Он зависит от параметра и. Чтобы сделать узлы и коэффициенты формулы для его вычисления не зависящими от и, выполним преобразование , приводящее параметр под знаком косинуса к единице и переводящее его из веса в интегрируемую функцию:

Предположим, что представима в виде

где непрерывна на полуоси Тогда задача будет состоять в том, чтобы установить правило вычисления интеграла

с положительной весовой функцией или