§ 5.3. Методы вычисления коэффициентов и узлов квадратурной формулы

В § 5.1 было указано, что коэффициенты квадратурной формулы наивысшей степени точности для обращения преобразования Лапласа имеют значения (5.1.6) или в другой записи

где производная от многочлена берется по переменной

Для вычисления этого интеграла воспользуемся равенством, являющимся аналогом известного тождества Кристоффеля — Дарбу. Получим это равенство.

Перепишем рекуррентное соотношение (5.2.7) для многочленов в виде

где

а индекс здесь и в дальнейшем ради простоты записи опущен.

Умножим равенство (5.3.2) на

В равенстве (5.3.4) поменяем местами переменные и полученное равенство вычтем из (5.3.4). Средние члены правых частей при этом взаимно уничтожаются. После этого получим

Запишем аналогичные равенства для

Преобразуем полученную систему равенств в эквивалентную ей, изменив указанным в нижеследующей записи

способом ее коэффициенты:

(см. скан)

Складывая теперь выписанные равенства почленно, получим искомое тождество

где

Положим в выражении где корень многочлена После деления на — оно примет вид

Умножим его на и проинтегрируем. Интеграл

равен нулю при в силу условия ортогональности (5.1.7) и равен при Поэтому после интегрирования получится равенство

Разделим его на

Последний интеграл есть не что иное, как коэффициент квадратурной формулы следовательно,

Остается вычислить

Для этого вычислим сначала отношение

Отсюда

Подставляя выражение (5.3.7) в формулу (5.3.6) для получим следующую формулу:

которой можно пользоваться для вычисления коэффициентов квадратурной формулы.

Перейдем теперь к методу вычисления узлов квадратурной формулы Обратные степени этих узлов — числа как было найдено выше, являются корнями многочленов Поэтому для их вычисления можно находить коэффициенты многочленов а потом тем или иным методом находить их корни. Но этот способ связан с большими вычислительными трудностями: во-первых, для каждого значения параметра нужно определять коэффициенты многочленов по рекуррентной формуле, а во-вторых, вычисление корней многочлена по методу Ньютона связано с большой потерей точности, особенно при больших значениях

Чтобы избежать вычисления коэффициентов многочленов и избавиться от большой потери точности при вычислениях, можно воспользоваться другим методом вычисления узлов квадратурной формулы. Для корней многочленов можно построить простую систему алгебраических уравнений, содержащую лишь и параметр Для этого достаточно исходить из дифференциального уравнения, которому удовлетворяют многочлены

В уравнении (5.3.9) положим тогда в нем исчезнет третий член левой части. Полученное уравнение разделим на что возможно, так как многочлен не имеет нулевого корня и не имеет кратных корней. Действительно, из явного выражения (5.2.1) видно, что свободный член многочлена не равен нулю, значит, Далее, из (5.3.9) следует, что если то и Дифференцируя уравнение раз, получим, что и

Последнее равенство неверно, так как есть отличная от нуля постоянная. Следовательно,

Уравнение (5.3.9) после указанных преобразований примет вид

Преобразуем выражение Для этого запишем многочлен в виде

Тогда

Отсюда следует, что

Теперь уравнение (5.3.10) можно записать в виде

Заменим на и сделаем несложные преобразования в равенстве (5.3.11):

(см. скан)

Записав равенство (5.3.12) для всех получим систему уравнений для определения узлов квадратурной формулы

Равенство (5.3.12) приобретает простой физический смысл, если воспользоваться некоторой электростатической аналогией. Предположим, что в точку 0 комплексной плоскости помещен электрический заряд отрицательной массы Наряду с ним рассмотрим свободных зарядов с положительной массой 2 и комплексные координаты. их назовем Будем считать, что они действуют друг на друга с силой, обычной для плоского электрического поля, когда численное значение силы обратно пропорционально первой степени расстояния и коэффициент пропорциональности равен произведению масс зарядов. Кроме того, будем считать, что к каждому свободному заряду приложена внешняя сила, имеющая величину 2, параллельная действительной оси и направленная в положительном направлении этой оси. В состоянии равновесия системы равнодействующие всех сил, приложенных к каждому из свободных зарядов, должны равняться нулю:

Если равенство сократить на множитель 2 и перейти к комплексно сопряженным величинам, получится система (5.3.12).

Равенство (5.3.12) является системой уравнений, из которой могут быть найдены узлы квадратурной формулы. Так как узлы являются числами комплексными, то, представив в виде систему (5.3.12) можно преобразовать, отделив в ней действительную и мнимую части. После этого получится следующая система уравнений для определения

Система (5.3.13) состоит из уравнений. На самом же деле их будет всего так как числа являются комплексно сопряженными числами:

Следовательно,

В таблицах 1 и 2 книги [8] приведены значения узлов и коэффициентов квадратурной формулы (5.1.5), имеющей наивысшую степень точности, для с 20 верными знаками и для верными знаками.