Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 5.3. Методы вычисления коэффициентов и узлов квадратурной формулыВ § 5.1 было указано, что коэффициенты
где производная от многочлена Для вычисления этого интеграла воспользуемся равенством, являющимся аналогом известного тождества Кристоффеля — Дарбу. Получим это равенство. Перепишем рекуррентное соотношение (5.2.7) для многочленов
где
а индекс Умножим равенство (5.3.2) на
В равенстве (5.3.4) поменяем местами переменные
Запишем аналогичные равенства для
Преобразуем полученную систему равенств в эквивалентную ей, изменив указанным в нижеследующей записи способом ее коэффициенты: (см. скан) Складывая теперь выписанные равенства почленно, получим искомое тождество
где
Положим в выражении
Умножим его на
равен нулю при
Разделим его на
Последний интеграл есть не что иное, как коэффициент квадратурной формулы
Остается вычислить
Для этого вычислим сначала отношение
Отсюда
Подставляя выражение (5.3.7) в формулу (5.3.6) для
которой можно пользоваться для вычисления коэффициентов квадратурной формулы. Перейдем теперь к методу вычисления узлов квадратурной формулы Чтобы избежать вычисления коэффициентов многочленов
В уравнении (5.3.9) положим
Последнее равенство неверно, так как Уравнение (5.3.9) после указанных преобразований примет вид
Преобразуем выражение
Тогда
Отсюда следует, что
Теперь уравнение (5.3.10) можно записать в виде
Заменим (см. скан) Записав равенство (5.3.12) для всех Равенство (5.3.12) приобретает простой физический смысл, если воспользоваться некоторой электростатической аналогией. Предположим, что в точку 0 комплексной плоскости помещен электрический заряд отрицательной массы
Если равенство сократить на множитель 2 и перейти к комплексно сопряженным величинам, получится система (5.3.12). Равенство (5.3.12) является системой уравнений, из которой могут быть найдены узлы квадратурной формулы. Так как узлы
Система (5.3.13) состоит из
Следовательно,
В таблицах 1 и 2 книги [8] приведены значения узлов и коэффициентов квадратурной формулы (5.1.5), имеющей наивысшую степень точности, для
|
1 |
Оглавление
|