§ 4.6. Теоремы о сходимости интерполяционных методов обращения

Результаты о сходимости интерполирования, полученные выше, позволяют высказать некоторые теоремы о сходимости квадратурных процессов (4.3.7) и (4.1.6) при

На основании теоремы 4а можно доказать следующую теорему.

Теорема 7. Пусть функция регулярна в полуплоскости а также в окрестности бесконечно удаленной точки и в окрестности нулевой точки

Тогда интерполяционный квадратурный процесс (4.3.7), построенный по узлам узлы имеют на отрезке распределение Чебышева, будет сходиться при при всех значениях при этом

равномерно относительно на любом конечном отрезке

при равномерно относительно для для всяких

Доказательство. Рассмотрим сначала случай Представление (4.6.1) остаточного члена имеет особенность, облегчающую исследование сходимости: интеграл, стоящий справа, в значительной мере не зависит от выбора с ввиду регулярности интегрируемой функции в полуплоскости и ограниченности в окрестности бесконечно удаленной точки. В частности, число с может быть взято сколь угодно большим. Выберем и оставим за собой право увеличить с, если это потребуется. На основании теоремы 4а можно сказать, что остаток интерполирования будет сходиться равномерно к нулю на линии интегрирования при и для любого найдется такой номер не зависящий от что для будет

Преобразуем интеграл, выражающий остаточный член положив

Теперь оценим его:

Последний несобственный интеграл будет сходящимся, так как Таким образом, из (4.6.2) вытекает, что будет стремиться к нулю при

Остается рассмотреть случай . Остаточный член преобразуем следующим образом:

Интеграл в первом слагаемом равен а погрешность интерполирования стремится к нулю при следовательно, первое слагаемое стремится к нулю при

Второе слагаемое перепишем следующим образом:

Покажем, что функция будет равномерно сходиться к нулю при на линии интегрирования

По условию теоремы функция регулярна в окрестности бесконечно удаленной точки следовательно, и погрешность интерполирования и функция будут регулярны в этой окрестности. Кроме того, функция в этой окрестности будет стремиться к нулю, как а значит, и будет регулярной функцией в области Из замечания к теореме 4а известно, что сходится равномерно к нулю при в области при некотором Рассмотрим значение функции на границе этой области при Погрешность равномерно относительно стремится к нулю, и, кроме того, модуль остается равным Следовательно, вся функция равномерно сходится

к нулю на границе области так как эта функция является регулярной в замкнутой области то из принципа максимума модуля сразу же следует равномерная сходимость и внутри области.

Если с выбрано так, что то доказано, что функция равномерно сходится к нулю на

Таким образом, доказано, что функция равномерно сходится к нулю при на линии интегрирования с, т. е. для любого найдется такое не зависящее от что при верно неравенство

Оценим интеграл (4.6.4):

Последний несобственный интеграл сходится при значит, и второе слагаемое в (4.6.3) будет стремиться к нулю при для любого Теорема доказана. Замечание. В теореме 7 сходимость квадратуры доказана для узлов у которых имеют предельную функцию распределения узлов совпадающую с функцией Чебышева. Аналогичная теорема может быть доказана и для узлов имеющих предельную функцию распределения узлов общего вида. Отличие будет состоять лишь в том, что область регулярности функции должна быть другой, а именно, должна быть регулярной в области в которую переходит область при преобразовании

Для квадратурного процесса (4.1.6) на основании теоремы 6 может быть доказана

Теорема 8. Если функция регулярна в полуплоскости а также в окрестности бесконечно удаленной точки то интерполяционный квадратурный процесс (4.1.6), построенный по узлам будет сходиться, если с выбрать

таким, что

Доказательство теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 7.

Следует заметить, что в условиях теоремы 8 квадратурный процесс (4.1.6) будет сходиться не только для равноотстоящих узлов, но и для любых других узлов, расположенных на действительной полуоси