равномерно относительно
на любом конечном отрезке
при
равномерно относительно
для
для всяких
Доказательство. Рассмотрим сначала случай
Представление (4.6.1) остаточного члена
имеет особенность, облегчающую исследование сходимости: интеграл, стоящий справа, в значительной мере не зависит от выбора с ввиду регулярности интегрируемой функции в полуплоскости
и ограниченности
в окрестности бесконечно удаленной точки. В частности, число с может быть взято сколь угодно большим. Выберем
и оставим за собой право увеличить с, если это потребуется. На основании теоремы 4а можно сказать, что остаток интерполирования
будет сходиться равномерно к нулю на линии интегрирования при
и для любого
найдется такой номер
не зависящий от
что для
будет
Преобразуем интеграл, выражающий остаточный член
положив
Теперь оценим его:
Последний несобственный интеграл будет сходящимся, так как
Таким образом, из (4.6.2) вытекает, что
будет стремиться к нулю при
Остается рассмотреть случай
. Остаточный член
преобразуем следующим образом:
Интеграл в первом слагаемом равен
а погрешность интерполирования
стремится к нулю при
следовательно, первое слагаемое стремится к нулю при
Второе слагаемое перепишем следующим образом:
Покажем, что функция
будет равномерно сходиться к нулю при
на линии интегрирования
По условию теоремы функция
регулярна в окрестности бесконечно удаленной точки
следовательно, и погрешность интерполирования
и функция
будут регулярны в этой окрестности. Кроме того, функция
в этой окрестности будет стремиться к нулю, как
а значит, и
будет регулярной функцией в области
Из замечания к теореме 4а известно, что
сходится равномерно к нулю при
в области
при некотором
Рассмотрим значение функции
на границе этой области при
Погрешность
равномерно относительно
стремится к нулю, и, кроме того,
модуль
остается равным Следовательно, вся функция равномерно сходится
к нулю на границе области
так как эта функция является регулярной в замкнутой области
то из принципа максимума модуля сразу же следует равномерная сходимость и внутри области.
Если с выбрано так, что
то доказано, что функция
равномерно сходится к нулю на
Таким образом, доказано, что функция
равномерно сходится к нулю при
на линии интегрирования
с, т. е. для любого
найдется такое
не зависящее от
что при
верно неравенство
Оценим интеграл (4.6.4):
Последний несобственный интеграл сходится при
значит, и второе слагаемое в (4.6.3) будет стремиться к нулю при
для любого
Теорема доказана. Замечание. В теореме 7 сходимость квадратуры доказана для узлов
у которых
имеют предельную функцию распределения узлов
совпадающую с функцией Чебышева. Аналогичная теорема может быть доказана и для узлов
имеющих предельную функцию распределения узлов
общего вида. Отличие будет состоять лишь в том, что область регулярности функции
должна быть другой, а именно,
должна быть регулярной в области
в которую переходит область
при преобразовании
Для квадратурного процесса (4.1.6) на основании теоремы 6 может быть доказана
Теорема 8. Если функция
регулярна в полуплоскости
а также в окрестности бесконечно удаленной точки
то интерполяционный квадратурный процесс (4.1.6), построенный по узлам
будет сходиться, если с выбрать
таким, что
Доказательство теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 7.
Следует заметить, что в условиях теоремы 8 квадратурный процесс (4.1.6) будет сходиться не только для равноотстоящих узлов, но и для любых других узлов, расположенных на действительной полуоси