§ 11.2. Устранение и ослабление особенностей изображения F(p)

11.2.1. Устранение полюсов у изображения.

Допустим, что функция в точках имеет полюсы порядков соответственно. Предположим также, что известны полярные части степенных разложений в окрестностях полюсов

Положим

и

Для точки будут точками регулярности.

Оригинал для находится точно (см., например, [1], гл. V, 5.2, стр. 209) и имеет значение

11.2.2. Ослабление влияния особенностей ветвления.

Рассмотрим случай степенной особенности ветвления и положим, что имеет следующий вид:

где есть действительное число и а есть значение, не принадлежащее полуплоскости регулярности так что функция, регулярная в открытой односвязной области, содержащей полуплоскость и точку а. Выберем произвольную точку лежащую левее точки а, т. е. так, чтобы

Функцию близкую к около точки а, будем искать в форме

Так как должна быть изображением и должна, следовательно, стремиться к нулю при удалении точки на бесконечность, показатель степени делителя должен удовлетворять условию

Выберем теперь коэффициенты так, чтобы в разложениях

где , и

совпадали коэффициенты при степенях от нулевой до Если заметить, что

можно просто получить разложение по степеням

Сравнение же коэффициентов при в разложениях даст следующую систему уравнений для вычисления

(см. скан)

Из нее последовательно могут быть найдены После нахождения для получаем следующее выражение:

Оригинал для вычисляется точно (см. [1], гл. V, 5.4, (8), стр. 215):

Здесь есть вырожденная гипергеометрическая функция

Функция будет в точке иметь производную порядка на единиц выше, чем и оригинал для нее может быть найден при помощи приближенных методов, как правило, с меньшей затратой труда и с лучшей точностью, чем для

В частном случае, когда показатель степени является отрицательным числом, ослабление влияния точки ветвления на изменение функции можно получить более просто, не вводя вспомогательную точку Выберем таким, что и положим

Оригинал для имеет более простой вид, чем выше:

Остаточная функция в этом случае будет следующей:

и, если выбрано так, что она будет равна нулю в точке

Теперь рассмотрим задачу ослабления логарифмической особенности ветвления. Ограничимся простейшим случаем, когда изображение имеет вид

действительное число и функция, регулярная в некоторой односвязной открытой области, содержащей полуплоскость и точку а.

Чем большее значение имеет тем более быстрым будет изменение при близком к а, и, чтобы сделать изменение более плавным, по крайней мере вблизи точки а, можно прибегнуть к следующему преобразованию

Возьмем целое число такое, чтобы было — затем построим разложение около точки по степеням и рассмотрим отрезок разложения

Положим

Оригинал для является табличным (см. [1], гл. V, 5.7, (4), стр. 225):

Что же касается функции

то она будет иметь в точке степенную особенность слабее, чем так как величина, стоящая в скобках, при близких к а, имеет порядок малости не ниже, чем

В предыдущем изложении были рассмотрены только некоторые типичные способы устранения и ослабления особенностей у изображения при помощи выделения из него «особой части» Вид же зависит от типа особенностей и не обязательно имеет форму, указанную в нашем изложении. В § 11.4 приведена небольшая таблица изображений и соответствующих им оригиналов которая может в некоторых, случаях оказать помощь при построении