§ 3.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью рядов по обобщенным многочленам Чебышева — Лагерра

В предыдущих параграфах этой главы были рассмотрены методы обращения преобразования Лапласа, в которых оригинал находился по значениям изображения в равноотстоящих точках действительной оси. В

настоящем параграфе будет рассмотрен метод восстановления оригинала, использующий значение изображения и значения его производных в одной точке.

Пусть задано преобразование Лапласа

Предположим, что функция удовлетворяет условию

где

Тогда из общей теории разложения функций в ряды по ортогональным многочленам известно, что ряд Фурье для функции по обобщенным многочленам Чебышева — Лагерра

сходится в среднем к этой функции. Это означает, что для частичных сумм

имеет место равенство

При некоторых дополнительных ограничениях, накладываемых на которые мы здесь не приводим, имеет место равенство

Обобщенные многочлены Чебышева — Лагерра ортогональны на полуоси с весом и могут

быть представлены формулами

Свойство ортогональности многочленов имеет вид

Если функция удовлетворяет условию (3.3.2), то преобразование Лапласа будет аналитической функцией в полуплоскости . В самом деле, в силу неравенства Шварца — Буняковского можно записать цепочку неравенств:

Отсюда видно, что интеграл (3.3.1) при условии (3.3.2) сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости Следовательно, функция аналитична в полуплоскости

Для определения коэффициентов разложения (3.3.4) сделаем следующее. Функцию разложим в ряд по многочленам Чебышева—Лагерра:

где вычисляется по формуле (3.3.6), а

Последнюю формулу преобразуем следующим образом:

Отсюда видно, что есть преобразование Лапласа функции как известно (см. [4]), оно вычисляется по формухе

Таким образом, разложение (3.3.7) принимает вид

Интеграл Лапласа (3.3.1) запишем в виде

Так как функция разлагается в ряд (3.3.4), а функция в ряд (3.3.8), то, применяя к интегралу (3.3.9) обобщенное равенство Парсеваля, получим

Введя замену переменной найдем

Так как мы показали, что функция аналитична в полуплоскости то функция аналитична в круге следовательно, и

аналитична в этом круге. Значит, коэффициенты в формуле (3.3.10) являются коэффициентами ряда Тейлора функции в точке Поэтому коэффициенты могут быть вычислены по формуле

Таким образом, разложение оригинала в ряд по обобщенным многочленам Чебышева — Лагерра имеет вид

а коэффициенты вычисляются по формуле (3.3.11).

Следует заметить, что если функция имеет особые точки, расположенные далеко от начала координат, то преобразование переведет их в окрестность точки что может уменьшить величину радиуса сходимости ряда (3.3.10). А это может, вообще говоря, уменьшить скорость убывания коэффициентов Таким образом, если преобразование Лапласа имеет особые точки, расположенные далеко от начала координат, то ряд по обобщенным многочленам Чебышева — Лагерра для функции может медленно сходиться и поэтому будет малопригодным в практических приложениях, и, наоборот, можно ожидать быструю сходимость такого ряда, если особые точки функции расположены в малой окрестности начала координат.