Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью рядов по обобщенным многочленам Чебышева — ЛагерраВ предыдущих параграфах этой главы были рассмотрены методы обращения преобразования Лапласа, в которых оригинал настоящем параграфе будет рассмотрен метод восстановления оригинала, использующий значение изображения Пусть задано преобразование Лапласа
Предположим, что функция
где Тогда из общей теории разложения функций в ряды по ортогональным многочленам известно, что ряд Фурье для функции
сходится в среднем к этой функции. Это означает, что для частичных сумм
имеет место равенство
При некоторых дополнительных ограничениях, накладываемых на
Обобщенные многочлены Чебышева — Лагерра ортогональны на полуоси быть представлены формулами
Свойство ортогональности многочленов
Если функция
Отсюда видно, что интеграл (3.3.1) при условии (3.3.2) сходится абсолютно и равномерно в полуплоскости Для определения коэффициентов
где
Последнюю формулу преобразуем следующим образом:
Отсюда видно, что
Таким образом, разложение (3.3.7) принимает вид
Интеграл Лапласа (3.3.1) запишем в виде
Так как функция
Введя замену переменной
Так как мы показали, что функция аналитична в этом круге. Значит, коэффициенты
Таким образом, разложение оригинала
а коэффициенты Следует заметить, что если функция
|
1 |
Оглавление
|