§ 4.3. Интерполяционный метод с неравноотстоящими узлами

Равноотстоящие узлы, которые избраны в § 4.2 для интерполирования функции при вычислении интеграла Меллина, будут, очевидно, самыми простыми и удобными, но будут давать, по-видимому, не самый лучший результат в смысле точности.

А так как вычисление этого интеграла часто бывает связано с довольно трудными и сложными расчетами, то желательно попытаться выбрать на действительной оси узлы так, чтобы интерполирование функции было более точным, чем интерполирование по равноотстоящим узлам, и, следовательно, был более точным и результат вычисления интеграла Меллина.

Одно из возможных решений этой задачи мы теперь рассмотрим.

Как и в § 4.1, будем предполагать, что изображение представимо в виде

тогда интеграл (4.1.1) примет вид

Чтобы преобразовать бесконечную полуось на которой выбираются узлы интерполирования, в конечный отрезок, выполним дробно-линейное преобразование

где А — действительное число, большее а. Это преобразование переведет полуось в отрезок [-1, 1], линия перейдет в единичную окружность а полуплоскость а — в единичный круг Точка А преобразуется в центр единичного круга. Линия интегрирования в интеграле (4.3.1) перейдет в окружность, лежащую внутри единичного круга и касающуюся его границы в точке Длина радиуса этой окружности будет зависеть от значения с. Если с будет приближаться к а, то она будет приближаться к единице. Наоборот, если с будет увеличиваться, то она будет уменьшаться и может стать как угодно малой. Функция преобразуется в функцию

Так как была регулярной в полуплоскости то функция будет регулярной в круге

Для вычисления интеграла мы будем теперь интерполировать функцию на линии интегрирования по ее значениям в точках диаметра единичного круга лежащего на действительной оси. При этом постараемся точки выбрать так, чтобы погрешность интерполирования была как можно меньше.

Следует заметить, что интеграл (4.3.1) является контурным интегралом от аналитической функции комплексной переменной Он мало зависит от линии интегрирования . В частности, с можно выбрать сколь угодно большим числом. Тогда линия интегрирования при преобразовании (4.3.2), как уже говорилось выше, перейдет в окружность малого радиуса, симметричную относительно диаметра единичного круга и касающуюся его окружности в точке Поэтому при интерполировании функции мы будем заинтересованы в получении хорошей точности, в особенности вблизи точки

Рассмотрим два способа выбора узлов и выскажем наглядные, но не вполне строгие мотивы, которыми мы руководствовались, когда остановились именно на этих узлах.

При исследовании сходимости интерполяционных процессов для аналитических функций большое значение имеет предельная функция распределения узлов. Это понятие требует пояснений. Напомним его и, чтобы лучше выяснить содержание вопроса, начнем с более общего понятия функции распределения масс. Пусть на отрезке по произвольному закону распределена единичная масса. Возьмем произвольную точку х на лежащую левее точки 1, и обозначим массу, лежащую строго левее точки х, т. е. принадлежащую открытому справа отрезку Дополним это определение положив

Функция обладает, очевидно, следующими свойствами:

2) есть монотонная неубывающая функция х, непрерывная слева для ;

Всякую функцию независимо от ее физического смысла, обладающую указанными тремя свойствами, называют функцией распределения для отрезка

Предположим, что дана последовательность функций распределения Говорят, что функция распределения является предельной для заданной последовательности, если во всякой точке непрерывности будет

Пусть теперь на отрезке взято узлов интерполирования Каждому узлу припишем массу . Этим будет определена некоторая функция распределения масс которую называют функцией распределения взятой системы узлов.

Рассмотрим, наконец, интерполяционный процесс, определяемый бесконечной треугольной таблицей узлов

в строках которой стоят узлы интерполирования на отдельных шагах процесса. Возьмем строку номера с узлами и назовем соответствующую им функцию распределения Будем считать таблицу X такой, что последовательность имеет предельную функцию распределения Функция называется предельной функцией распределения узлов интерполирования.

Особая роль при интерполировании аналитических функций принадлежит предельной функции распределения, которая называется функцией Чебышева:

Если для наглядности считать, что связана с распределением масс на то плотность распределения масс будет и массы будут, очевидно, расположены симметрично относительно точки разрежены вблизи середины отрезка и уплотнены у его концов.

Оказывается, что интерполяционные процессы с узлами, имеющими в качестве предельной функции распределения

узлов функцию Чебышева, являются наилучшими для интерполирования на [-1, 1] аналитических функций в следующем смысле: какова бы ни была функция аналитическая на отрезке интерполяционный процесс для нее будет сходиться всюду на отрезке и при этом равномерно относительно х. Кроме того, равномерная сходимость сохранится и в некоторой окрестности отрезка — но форма области сходимости будет зависеть от свойств

Поэтому при интерполировании функции естественно было взять такие узлы на отрезке для которых предельная функция распределения есть функция Чебышева.

Известно также, что корни любой системы многочленов, ортогональных на отрезке с любой суммируемой и почти везде положительной весовой функцией, будут иметь в качестве предельной функции распределения функцию Чебышева.

За узлы при интерполировании можно взять корни многочлена степени из любой известной системы ортогональных многочленов, в частности корни многочленов Чебышева первого и второго рода, многочленов Лежандра и Якоби.

Задачу определенного выбора узлов отложим до 1 конца параграфа, теперь же будем считать их произвольными, расположенными на

По значениям функции в точках построим интерполирующий ее многочлен

Вернемся от переменной x к старой переменной

тогда

где

Упростим выражение для Так как

то

где

Выражение (4.3.5) для функции подставим в интеграл (4.3.1) и получим следующую формулу для его приближенного значения:

где

Интеграл в последней формуле можно свести к интегралу, вычисляемому при помощи известных таблиц для обращения преобразования Лапласа. Действительно, разложим многочлен по степеням

тогда

где

Подставляя (4.3.9) в формулу (4.3.8), получим

Последний интеграл является табличным, выражающимся через вырожденную гипергеометрическую функцию (см. [3], стр. 231).

Окончательно для получается следующее выражение:

Здесь есть вырожденная гипергеометрическая функция:

Равенство (4.3.12) можно упростить для некоторых частных значений а и Например, если точки а и А будут расположены симметрично относительно а, т. е. если они будут связаны соотношением то

Формулы (4.3.12) и (4.3.13) позволяют определить коэффициенты квадратурного правила (4.3.7) для

любого значения Чтобы было удобнее пользоваться ими, можно составить таблицу значений которые зависят от выбора узлов а также от параметров а и А.

Для а и могут быть взяты соответственно значения

0 и 1, что не ограничивает общности, так как любые другие их значения приводятся к данным заменой переменной

Что же касается узлов то, как мы указывали в начале параграфа, их можно положить равными корням многочлена степени из любой системы ортогональных на отрезке многочленов.

В справочной книге [8] приведены значения двух следующих случаях.

1. За узлы были взяты корни многочлена Чебышева первого рода

Коэффициенты формул (4.3.12) или (4.3.13), т. е. коэффициенты разложения по обратным степеням можно вычислить следующим образом. Перейдем от переменной к переменной найдем

Разложим многочлен по степеням

тогда получим

где

Возвращаясь к старой переменной найдем разложение

по степеням

Для вычисления коэффициентов нужно знать коэффициенты разложения по степеням Их можно найти, например, следующим способом. В равенстве (4.3.14) положим тогда

Теперь (4.3.14) перепишем в виде

Значение является корнем последнего многочлена, и мы можем понизить порядок многочлена на единицу, после этого получим

Снова положим тогда

Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не найдем все После этого по формулам (4.3.15) определяются все

Численные значения для приведены в табл. 6 книги [8].

2. За узлы были приняты корни многочленов Лежандра степени 1. Коэффициенты и узлы

можно вычислить совершенно аналогично предыдущему случаю.

В табл. 7 книги [8] приведены соответствующие значения и узлов для