Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4.3. Интерполяционный метод с неравноотстоящими узламиРавноотстоящие узлы, которые избраны в § 4.2 для интерполирования функции А так как вычисление этого интеграла часто бывает связано с довольно трудными и сложными расчетами, то желательно попытаться выбрать на действительной оси узлы так, чтобы интерполирование функции Одно из возможных решений этой задачи мы теперь рассмотрим. Как и в § 4.1, будем предполагать, что изображение
тогда интеграл (4.1.1) примет вид
Чтобы преобразовать бесконечную полуось
где А — действительное число, большее а. Это преобразование переведет полуось
Так как Для вычисления интеграла Следует заметить, что интеграл (4.3.1) является контурным интегралом от аналитической функции комплексной переменной Рассмотрим два способа выбора узлов При исследовании сходимости интерполяционных процессов для аналитических функций большое значение имеет предельная функция распределения узлов. Это понятие требует пояснений. Напомним его и, чтобы лучше выяснить содержание вопроса, начнем с более общего понятия функции распределения масс. Пусть на отрезке Функция
2)
Всякую функцию Предположим, что дана последовательность функций распределения Пусть теперь на отрезке Рассмотрим, наконец, интерполяционный процесс, определяемый бесконечной треугольной таблицей узлов
в строках которой стоят узлы интерполирования на отдельных шагах процесса. Возьмем строку номера Особая роль при интерполировании аналитических функций принадлежит предельной функции распределения, которая называется функцией Чебышева:
Если для наглядности считать, что Оказывается, что интерполяционные процессы с узлами, имеющими в качестве предельной функции распределения узлов функцию Чебышева, являются наилучшими для интерполирования на [-1, 1] аналитических функций в следующем смысле: какова бы ни была функция Поэтому при интерполировании функции Известно также, что корни любой системы многочленов, ортогональных на отрезке За узлы Задачу определенного выбора узлов По значениям функции
Вернемся от переменной x к старой переменной
тогда
где
Упростим выражение для
то
где
Выражение (4.3.5) для функции
где
Интеграл в последней формуле можно свести к интегралу, вычисляемому при помощи известных таблиц для обращения преобразования Лапласа. Действительно, разложим многочлен
тогда
где
Подставляя (4.3.9) в формулу (4.3.8), получим
Последний интеграл является табличным, выражающимся через вырожденную гипергеометрическую функцию (см. [3], стр. 231). Окончательно для
Здесь
Равенство (4.3.12) можно упростить для некоторых частных значений а и
Формулы (4.3.12) и (4.3.13) позволяют определить коэффициенты любого значения Для а и 0 и 1, что не ограничивает общности, так как любые другие их значения приводятся к данным заменой переменной Что же касается узлов В справочной книге [8] приведены значения 1. За узлы
Коэффициенты
Разложим многочлен
тогда получим
где
Возвращаясь к старой переменной
Для вычисления коэффициентов
Теперь (4.3.14) перепишем в виде
Значение
Снова положим
Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не найдем все Численные значения 2. За узлы можно вычислить совершенно аналогично предыдущему случаю. В табл. 7 книги [8] приведены соответствующие значения
|
1 |
Оглавление
|